Введение 3
Глава 1. Обзор 5
1.1 Обзор некоторых экспериментальных данных 5
1.2 Теория взаимодействия ионов через поле деформаций 9
Глава 2. Анализ существующих решений уравнения упругости 12
2.1 Случай изотропной среды 13
2.2 Случай слабой анизотропии 16
Глава 3. Решение уравнения упругости для кубических кристаллов 21
3.1 Фурье -образы компонент тензора Грина 21
3.2 Координатное представление 27
Заключение
Список использованной литературы
Задача расчета поля упругих деформаций в бесконечной упругой среде, имеет долгую историю. В 1846 году Томпсон впервые показал, что взаимодействие двух дефектов в упругой среде пропорционально (1/R)3, где R - расстояние между дефектами, т. е. оно спадает с расстоянием между дефектами подобно диполь-дипольному взаимодействию электрических или магнитных диполей. Лифшицем и Розенцвейгом в 1947 году предложен метод решения уравнения упругости с одним точечным дефектом, позволяющий рассматривать как изотропные, так и анизотропные упругие среды. Для изотропной упругой среды они смогли получить аналитическое решение (тензор Грина), позволяющий рассчитывать поле деформаций от произвольного точечного источника. В 1962 году Аминов и Кочелаев, используя методы квантовой электродинамики, развили теорию взаимодействия парамагнитных центров через поле акустических фононов. Позднее, в работе Еремина, Завидонова и Кочелаева было доказано, что квантово-механическое описание взаимодействия парамагнитных центров (через акустические фононы) и классическое описание (через поле деформаций) эквивалентны, когда эффекты запаздывания не учитываются. В этой связи интерес к классическому рассмотрению задачи возобновился. Особенно сильным взаимодействие через поле деформаций является у ионов переходных металлов с орбитально вырожденными основными состояниями.
Задача расчета взаимодействия примесных центров через поле деформаций в кристаллической решетке является предметом общего интереса. Было предложено несколько решений данной задачи, исходя из предположения, что среда является изотропной. Взаимодействие точечных дефектов в случае особого расположения в диамагнитном кристалле рассмотрена в статье [1], а упругое взаимодействие спинов в парамагнетике обсуждается в статье [2]; диагональная часть взаимодействия двухуровневых центров в стеклах 3
рассмотрена в статье [3]. Получение выражения энергии взаимодействия точечных дефектов в изотропной среде детально показано в статье Кочелаева. [4]
В настоящей работе ставится задача попытаться рассмотреть реальные кубические среды, т. е. выйти за рамки приближения изотропной среды. На данный момент известно несколько аналитических решений для слабо анизотропной кубической среды. Одно из них было получено Лифшицем и Розенцвейгом [5]. Однако, позже Дедерикс и Лейбфрид [6] показали, что данное решение не является полным и в нем потеряно одно слагаемое. В связи с этим, на начальном этапе данной работы была поставлена задача проверить справедливость решения, предложенного Дедериксом и Лейбфридом, путем непосредственной подстановки его в уравнение упругости. Наши расчеты показали, что оно тоже не удовлетворяет исходному уравнению.
Таким образом, возникла основная задача данной работы - заново найти решение уравнения упругости для кристаллов с кубической симметрией, а именно получить аналитические выражения для компонент тензора Грина для кристаллов с кубической симметрией в приближении малой анизотропии.
В данной работе выполнен первый этап работы, необходимый для расчета энергии взаимодействия магнитных ионов с орбитально вырожденными основными состояниями через упругую среду. В аналитическом виде получены компактные выражения для всех компонент тензора Грина для кубических сред с относительно слабой анизотропией. При помощи преобразования Фурье дифференциальное уравнение упругости было сведено к системе линейных алгебраических уравнений, а затем проведено обратное преобразование Фурье полученного результата. Также был проведен анализ предложенных ранее решений данной задачи и указаны их недостатки.
