Введение 3
1 Квантовая хромодинамика в континууме. 6
1.1 Некоторые сведения из квантовой теории поля 6
1.2 О квантовой хромодинамике 9
1.3 Абелевы калибровочные поля 11
1.4 Неабелевы калибровочные поля 17
2 Решеточная квантовая хромодинамика. 22
2.1 О самой теории 22
2.2 Действие КХД в искривленном евклидовом пространстве-времени. 25
2.3 Дискретизация действия КХД 32
2.3.1 Дискретизация действия Янга-Миллса в пространстве
Шварцшильда 32
2.3.2 Дискретизация фермионного действия в пространстве
Шварцшильда 38
3 О процедуре проведения решеточных расчетов. 44
3.1 Решеточная запись полевых переменных 44
3.2 Реализация численных расчетов 47
Заключение 50
Список литературы
В прошлом столетии был совершен значительный прорыв в области физики фундаментальных взаимодействий. Электромагнитные и слабые взаимодействия были описаны единым образом в теории Вайнберга-Салама, а теории Великого Объединения включили в более широкую калибровочную теорию и сильные взаимодействия.
В это объединение не входит гравитация. Гравитация не только остается в стороне от остальных взаимодействий, но и упорно противостоит попыткам квантования. Вероятно, причина этого заключается в исключительной слабости этих сил для квантовых объектов. Полностью удовлетворительной квантовой теории гравитации до сих пор не создано.
Но можно ли что-либо сказать о влиянии гравитационного поля на квантовые явления?
Замечательным успехом в этой области явилось предсказание Хокингом
[1] явления квантового испарения черных дыр. Вблизи черной дыры гравитационное поле становится достаточно сильным, чтобы оказать влияние на квантовые процессы. Рождение пар частица-античастица из вакуума вблизи горизонта событий черной дыры приводит к возникновению потока излучения от черной дыры. Интересной особенностью этого излучения является его тепловой характер (спектр излучения имеет планковский вид). Эффективная температура зависит лишь от массы и углового момента черной дыры.
Квантовая теория поля в искривленном пространстве-времени имеет важное значение как некоторое приближение к пока несуществующей квантовой теории гравитации.
В недавнем времени открылась совершенно новая область исследований - решеточная квантовая хромодинамика в искривленном пространстве-времени В 2014 году японским физиком Арата Ямамото была опубликована пионерская работа «Lattice QCD in curved spacetimes» [2].
В этой работе Ямамото рассматривает решеточное действие в общем виде для искривленных пространств и проводит численное моделирование рождения частиц в пространстве Фридмана-Робертсона-Уокера, т.е. в расширяющейся Вселенной.
Как уже отмечалось, для проявления квантового характера гравитации необходимо, чтобы гравитационное поле было достаточно сильным. В связи с этим актуальным является исследование поведения квантовой хромодинамики в сильных гравитационных полях. В настоящей работе, в качестве тесто¬вой модели, рассматривается случай окрестности не вращающейся, незаряженной черной дыры. Пространство вокруг такой черной дыры описывается метрикой Шварцшильда.
Целью работы является построение решеточного действия квантовой хромодинамики для пространства Шварцшильда.
В процессе достижения поставленной цели решались следующие задачи:
• Освоение методов решеточной хромодинамики;
• Построение решеточного действия Янга-Миллса в пространстве Шварцшильда;
• Построение фермионного решеточного действия в пространстве Шварцшильда.
Используемые обозначения.
Договоримся об обозначениях, используемых в работе.
В работе используется естественная система единиц: ~ = c = 1.
Используется правило суммирования Эйнштейна: по повторяющимся индексам производится суммирование (без указания знака суммы).
Ссылки на формулы обозначаются круглыми скобками, например, (1.10). Ссылки на литературу обозначаются квадратными скобками, например, [5].
Частные производные, в некоторых случаях, для удобства обозначаются следующим образом: @Х_ ! @^.
Вектора обозначаются стрелочкой над символом, например, а. В общем случае, x является радиус-вектором точки в пространстве-времени, стрелочку над x для удобства ставить не будем. Поэтому сумму x + а следует воспринимать как сумму двух векторов.
Эрмитово сопряжение обозначается следующим образом: А^, где А - произвольная матрица. Комплексное сопряжение обозначается символом «*», на-пример, '*.
Используемая сигнатура пространства-времени: (—, + , + , +)
В данной работе было построено решеточное действие квантовой хромодинамики в пространстве Шварцшильда: построено решеточное действие Янга- Миллса и фермионное действие.
В перспективе планируется исследование эффектов, связанных с конечностью размеров решетки. Также, необходимо отдельное исследование случаев, когда траектории проходят под горизонтом событий.
После решения этих проблем можно приступать к проведению численных расчетов.
