Стационарное движение вязкой жидкости по трубе кругового сечения в присутствии малого радиального градиента давления
|
Введение 3
Глава 1. Вязкие несжимаемые жидкости 7
1.1. Основные понятия 7
1.2. Течение вязкой несжимаемой жидкости по трубе 14
Глава 2. Численные оценки скоростей вязких несжимаемых жидкостей, протекающих по цилиндрической трубе кругового сечения 37
2.1. Понятие чисел Рейнольдса 37
2.2. Некоторые численные оценки для различных жидкостей 38
Заключение 41
Библиографический список 42
Приложение
Глава 1. Вязкие несжимаемые жидкости 7
1.1. Основные понятия 7
1.2. Течение вязкой несжимаемой жидкости по трубе 14
Глава 2. Численные оценки скоростей вязких несжимаемых жидкостей, протекающих по цилиндрической трубе кругового сечения 37
2.1. Понятие чисел Рейнольдса 37
2.2. Некоторые численные оценки для различных жидкостей 38
Заключение 41
Библиографический список 42
Приложение
Гидродинамика - это чрезвычайно широкий и очень развитый раздел современной теоретической физики, в рамках которого решаются многие задачи, в частности: задачи из физики плазмы, нелинейной оптики, расчёты больших амплитуд волн на поверхности воды и так далее. В частности, в рамках гидродинамики рассматриваются задачи о течении различного рода жидкостей по трубкам, а также задачи об обтекании тел различной геометрии вязкими жидкостями. Особый практический интерес исследователей, занимающихся гидродинамическими расчётами, вызывают задачи, связанные с вязкими несжимаемыми жидкостями.
Изучением особенностей движения вязких жидкостей занимались такие известные отечественные учёные как Л.Д. Ландау, Л.Г. Лойцянский , профессор Московского университета Н.А. Слёзкин, а также профессор Казанского Университета И.С. Громека .2
Уравнения, описывающие течение вязких несжимаемых жидкостей, можно получить, если ввести в уравнения течения идеальных жидкостей дополнительные члены. В прикладных задачах гидродинамики, основным уравнением движения является уравнение Навье-Стокса, так как оно позволяет работать с проекциями скоростей, а значит в различных системах отсчёта (в цилиндрической, сферической системах координат).
Отличие между идеальной и вязкой жидкостями заключается в том, что когда рассматривается течение вязкой жидкости, то при условном её разделении на «слои», каждый такой «слой» движется с характерной скоростью. При условном разделении вязкой жидкости на подобные «слои», скорости течения «слоёв» будут разными.
Несложно представить трубку по которой протекает вязкая жидкость. При протекании вязкой жидкости по трубе, главной её особенностью является, то что при омывании стенок трубы вязкой жидкостью происходит «налипание» молекул жидкости на стенки трубы по которой она протекает. Это обусловлено отсутствием нормальной к твёрдой поверхности относительной скорости между частицами жидкости и близлежащими точками поверхности, так и касательных составляющих относительной скорости , то есть отсутствие скорости скольжения жидкости по поверхности.
Не следует, однако, связывать эту особенность вязкой жидкости (налипание на стенки) при течении по внутренней поверхности твёрдой трубы с явлением «смачиваемости» жидкостью или же отсутствием смачиваемости твёрдой поверхности, которое характеризует «краевой эффект» (образование мениска ) на границе, например твердой стенки трубы и двух жидкостей разной плотности. Например, ртуть не смачивает внутреннюю поверхность (стеклянной) трубки, по которой она протекает, но «прилипает» к её стенкам.
Таким образом, в отличие от идеальной жидкости, при обтекании твёрдых поверхностей вязкой жидкостью, должно выполняться граничное условие равенства нулю скорости жидкости на неподвижной обтекаемой поверхности или совпадения скоростей частиц жидкости со скоростями точек движущейся твёрдой поверхности, с которыми жидкие частицы соприкасаются.
Как и в случае, когда рассматривается идеальная жидкость, должно строго выполняться условие непрерывности потока, то есть мы говорим, что в случае стационарного движения вязкой жидкости, из трубы некоторого поперечного сечения, должно вытекать за каждую секунду одно и то же количество жидкости.
В случае стационарного движения вязкой жидкости, которое рассматривалось в рамках магистерской диссертации, условие непрерывности также непременно должно выполняться, но вместе с этим должно быть заданы распределения скоростей в области течения в некоторый начальный момент, постоянного давления в данной точке пространства.
Мы здесь говорим о модели трубы ,которая имеет конечную длину. По трубе протекает вязкая жидкость, движение жидкости стационарное.
Для решения задачи были выбраны следующие приближения:
1) Рассмотрено стационарное движение вязкой жидкости по трубе конечной длины в присутствии радиального градиента давления, являющегося слабым возмущением стационарного пуазейлевского течения жидкости. Для решения задачи использованы уравнения Навье-Стокса для аксиальной и радиальной компонент скорости жидкости. Решения уравнений Навье-Стокса представлены в виде суммы скоростей невозмущённого (пуазейлевского) и возмущённого аксиального движения, а также скорости возмущённого радиального движения.
2) Скорости возмущённых движений представлены в виде произведений функций аксиальной и радиальной координат. Поскольку зависимость аксиальной компоненты скорости возмущённого движения жидкости должна удовлетворять достаточно жёстким условиям: равенству нулю на внутренней поверхности трубы и уравнению непрерывности, соответствующая функция от радиальной координаты была выбрана заранее. Такая же процедура была выполнена и для скорости возмущённого радиального движения. Перед подстановкой в уравнения Навье-Стокса вкладов, зависящих от компонент скоростей, было произведено их усреднение по сечению трубы.
3) В результате уравнения Навье-Стокса стали дифференциальными уравнениями для функций от аксиальной координаты. Решения этих уравнений представляют собой экспоненциальные зависимости от аксиальной координаты, свидетельствующие об уменьшении возмущений по мере их удаления от сечения трубы, к которому приложены возмущающие силы.
Идея поставленной задачи, заключается в следующем: поперечный градиент давления может привести к разным продольным скоростям течения вязкой несжимаемой жидкости в различных точках сечения течения вдоль трубы.
Цель работы: выяснить как эта неоднородность распределения продольных скоростей распространяется вдоль трубы - усиливается (возрастает) или уменьшается (убывает) вдоль течения трубы, по какому закону и на какие расстояния.
Основная методологическая база включает в себя, в основном, методы нелинейной математической физики. В силу того, что работа теоретическая, она содержит, соответственно аналитические расчёты, а также некоторые ключевые результаты, полученные в программной среде Maple и MatLab, и непосредственно при решении уравнений которыми здесь пользовались.
Структура работы: две главы, являющиеся результатом работы с литературными источниками; Первая глава содержит аналитические расчёты, упоминаемых выше задач, а также основные понятия, которые используются в работе. Вторая глава посвящена численным оценкам скоростей вязких жидкостей. Конкретные расчёты были выполнены для воды, однако, полученные формулы могут быть применены и для других жидкостей, в частности: жидким фракциям нефти, венозной крови, глицерина и различным маслам.
Изучением особенностей движения вязких жидкостей занимались такие известные отечественные учёные как Л.Д. Ландау, Л.Г. Лойцянский , профессор Московского университета Н.А. Слёзкин, а также профессор Казанского Университета И.С. Громека .2
Уравнения, описывающие течение вязких несжимаемых жидкостей, можно получить, если ввести в уравнения течения идеальных жидкостей дополнительные члены. В прикладных задачах гидродинамики, основным уравнением движения является уравнение Навье-Стокса, так как оно позволяет работать с проекциями скоростей, а значит в различных системах отсчёта (в цилиндрической, сферической системах координат).
Отличие между идеальной и вязкой жидкостями заключается в том, что когда рассматривается течение вязкой жидкости, то при условном её разделении на «слои», каждый такой «слой» движется с характерной скоростью. При условном разделении вязкой жидкости на подобные «слои», скорости течения «слоёв» будут разными.
Несложно представить трубку по которой протекает вязкая жидкость. При протекании вязкой жидкости по трубе, главной её особенностью является, то что при омывании стенок трубы вязкой жидкостью происходит «налипание» молекул жидкости на стенки трубы по которой она протекает. Это обусловлено отсутствием нормальной к твёрдой поверхности относительной скорости между частицами жидкости и близлежащими точками поверхности, так и касательных составляющих относительной скорости , то есть отсутствие скорости скольжения жидкости по поверхности.
Не следует, однако, связывать эту особенность вязкой жидкости (налипание на стенки) при течении по внутренней поверхности твёрдой трубы с явлением «смачиваемости» жидкостью или же отсутствием смачиваемости твёрдой поверхности, которое характеризует «краевой эффект» (образование мениска ) на границе, например твердой стенки трубы и двух жидкостей разной плотности. Например, ртуть не смачивает внутреннюю поверхность (стеклянной) трубки, по которой она протекает, но «прилипает» к её стенкам.
Таким образом, в отличие от идеальной жидкости, при обтекании твёрдых поверхностей вязкой жидкостью, должно выполняться граничное условие равенства нулю скорости жидкости на неподвижной обтекаемой поверхности или совпадения скоростей частиц жидкости со скоростями точек движущейся твёрдой поверхности, с которыми жидкие частицы соприкасаются.
Как и в случае, когда рассматривается идеальная жидкость, должно строго выполняться условие непрерывности потока, то есть мы говорим, что в случае стационарного движения вязкой жидкости, из трубы некоторого поперечного сечения, должно вытекать за каждую секунду одно и то же количество жидкости.
В случае стационарного движения вязкой жидкости, которое рассматривалось в рамках магистерской диссертации, условие непрерывности также непременно должно выполняться, но вместе с этим должно быть заданы распределения скоростей в области течения в некоторый начальный момент, постоянного давления в данной точке пространства.
Мы здесь говорим о модели трубы ,которая имеет конечную длину. По трубе протекает вязкая жидкость, движение жидкости стационарное.
Для решения задачи были выбраны следующие приближения:
1) Рассмотрено стационарное движение вязкой жидкости по трубе конечной длины в присутствии радиального градиента давления, являющегося слабым возмущением стационарного пуазейлевского течения жидкости. Для решения задачи использованы уравнения Навье-Стокса для аксиальной и радиальной компонент скорости жидкости. Решения уравнений Навье-Стокса представлены в виде суммы скоростей невозмущённого (пуазейлевского) и возмущённого аксиального движения, а также скорости возмущённого радиального движения.
2) Скорости возмущённых движений представлены в виде произведений функций аксиальной и радиальной координат. Поскольку зависимость аксиальной компоненты скорости возмущённого движения жидкости должна удовлетворять достаточно жёстким условиям: равенству нулю на внутренней поверхности трубы и уравнению непрерывности, соответствующая функция от радиальной координаты была выбрана заранее. Такая же процедура была выполнена и для скорости возмущённого радиального движения. Перед подстановкой в уравнения Навье-Стокса вкладов, зависящих от компонент скоростей, было произведено их усреднение по сечению трубы.
3) В результате уравнения Навье-Стокса стали дифференциальными уравнениями для функций от аксиальной координаты. Решения этих уравнений представляют собой экспоненциальные зависимости от аксиальной координаты, свидетельствующие об уменьшении возмущений по мере их удаления от сечения трубы, к которому приложены возмущающие силы.
Идея поставленной задачи, заключается в следующем: поперечный градиент давления может привести к разным продольным скоростям течения вязкой несжимаемой жидкости в различных точках сечения течения вдоль трубы.
Цель работы: выяснить как эта неоднородность распределения продольных скоростей распространяется вдоль трубы - усиливается (возрастает) или уменьшается (убывает) вдоль течения трубы, по какому закону и на какие расстояния.
Основная методологическая база включает в себя, в основном, методы нелинейной математической физики. В силу того, что работа теоретическая, она содержит, соответственно аналитические расчёты, а также некоторые ключевые результаты, полученные в программной среде Maple и MatLab, и непосредственно при решении уравнений которыми здесь пользовались.
Структура работы: две главы, являющиеся результатом работы с литературными источниками; Первая глава содержит аналитические расчёты, упоминаемых выше задач, а также основные понятия, которые используются в работе. Вторая глава посвящена численным оценкам скоростей вязких жидкостей. Конкретные расчёты были выполнены для воды, однако, полученные формулы могут быть применены и для других жидкостей, в частности: жидким фракциям нефти, венозной крови, глицерина и различным маслам.
В рамках проделанной работы, были записаны уравнения Навье-Стокса, с учётом цилиндрических координат, также была вычислена поправка к скорости течения жидкости по трубе. Посредством метода усреднения уравнения Навье-Стокса, оно было приведено к форме функции, не зависящей от времени ( движение вязкой несжимаемой жидкости стационарное). При построении теории, был предложен метод разделения скоростей течения жидкости на продольную и поперечную части, это же условие имеет место для малого градиента давления. Также были численно получены числа Рейнольдса для невозмущённой (пуазейлевской) скорости течения жидкости. Была написана программа в среде MatLab, для того чтобы с определённой точностью определить необходимые параметры возмущённой части скорости течения в первом порядке.
Цель работы заключалась в выяснении зависимости уменьшения или же увеличения скорости течения жидкости, при различных конечных длинах труб различных диаметров.
Выражаю благодарности моему научному руководителю доценту кафедры Теоретической физики, Александру Леонидовичу Ларионову, за неоценимую помощь и проверку данной работы до её принятия к перчати.
Также выражаю благодарность старшему преподавателю кафедры Теории Относительности и гравитации Кашаргину Павлу Евгеньевичу, за помощь при написании программного расчёта в программной среде MatLab.
Хочу выразить признательность профессору кафедры Теории Относительности и Гравитации Александру Борисовичу Балакину за разъяснение метода усреднения некоторых интегральных уравнений.
Цель работы заключалась в выяснении зависимости уменьшения или же увеличения скорости течения жидкости, при различных конечных длинах труб различных диаметров.
Выражаю благодарности моему научному руководителю доценту кафедры Теоретической физики, Александру Леонидовичу Ларионову, за неоценимую помощь и проверку данной работы до её принятия к перчати.
Также выражаю благодарность старшему преподавателю кафедры Теории Относительности и гравитации Кашаргину Павлу Евгеньевичу, за помощь при написании программного расчёта в программной среде MatLab.
Хочу выразить признательность профессору кафедры Теории Относительности и Гравитации Александру Борисовичу Балакину за разъяснение метода усреднения некоторых интегральных уравнений.