Тема: Оценка стоимости европейского опциона методом Монте-Карло

Метод Монте-Карло - метод численного решения математических задач с помощью моделирования большого количества случайных величин и на-хождения их математического ожидания. Вычисление интегралов является основной направленностью этого метода, так как математическое ожидание непрерывной случайной величины выражается через интеграл.[1][2]
Метод Монте-Карло имеет применение во многих областях, как то:
• задачи финансовой математики - моделирование рыночных ситуаций;
• задачи теории игр;
• производственные задачи - моделирование сложных систем и сетей;
• задачи ядерной и статической физики, и другие.
Популярность этому методу принесла его существенная простота. Данный метод основан на теории вероятности, а конкретнее, на Центральной предельной теореме. Таким образом, ошибка вычислений, проводимых на основе этого метода, сильно зависит от количества моделируемых испытаний. Чем больше испытаний мы проводим, тем меньше ошибка, и в то же время больше временные затраты на расчеты. Тем не менее, для некоторых задач, которые требуют высокой точности вычислений, даже достаточно большое количество испытаний, проведенных в рамках метода Монте-Карло, не даст желательной точности.
Однако мы будем рассматривать применение этого метода в рамках моделирования экономических ситуаций. Обычно в таких задачах требуется спрогнозировать примерную траекторию развития рыночной ситуации. Например, нам не нужно знать сколько будет стоить акция через год с точностью до копейки, но нам нужно знать, будет ли цена на акцию расти или падать, и чем быстрее мы это узнаем, тем лучше. Таким образом, для прогнозирования в рамках экономической и финансовой области в приоритете оказывается скорость вычислений, нежели их точность. И тут оказывается полезным свойство хорошей распараллеливаемости метода Монте-Карло, путем распределения численных статических испытаний по отдельным процессорам.
В настоящее время большую популярность приобрели различные техно-логии параллельных вычислений, в том числе с использованием GPGPU (General Purpose GPU). Это связано с постоянно растущей сложностью актуальных задач, а так же с растущим объемом данных для обработки. Суть таких вычислений в том, чтобы части программы выполнялись одновременно в наборе потоков, взаимодействующих друг с другом. Использование параллельных компьютеров (компьютерных систем с набором процессоров, работающих одновременно) обосновано идеей о том, что если одному процессору на выполнение задачи требуется времени, то п процессорам на это должно потребоваться в п раз времени меньше. Но, конечно, это идеальный случай, и в реальности такого добиться не удастся. Однако, ускорить работу вполне возможно, в той или иной степени, в зависимости от алгоритма и имеющейся аппаратной системы.
Примерами технологий для параллельных вычислений могут быть OpenMP, MPI, CUDA, OpenCL. Так же в пакете прикладных программ MATLAB существует набор средств для написания параллельных алгоритмов, объединенных в MATLAB Parallel Computing Toolbox.
В данной работе будут исследоваться алгоритмы оценки европейского опциона, как примера классического вида, и азиатского, в качестве усложнения первоначальной задачи. Рассматриваемые алгоритмы, основанные на методе Монте-Карло, будут реализованы последовательно и параллельно с помощью технологий MATLAB Parallel Computing Toolbox и технологии гетерогенных вычислений OpenCL и языка С. Анализ скорости работы разных подходов и технологий будет проведен на высокопроизводительном кластере Ресурсного Центра "Вычислительный Центр СПбГУ"[4].
Опцион - вид экономических деривативов, который является достаточно гибким инструментом работы на бирже и позволяет снизить риски манипулирования активами. Подробнее опционы будут описаны в главе "Предметная область". Большую роль в теории оценки опционов сыграла статья
"The pricing of options and corporate liabilities" 1973 года (Myron Scholes, Fischer Black) [5], в которой была описана модель Блэка-Шоулза, давшая аналитическую формулу для классических, или ванильных, опционов. Но для опционов другого вида, экзотических, формулы нет, поэтому приходится использовать численные методы для приближенного нахождения цены таких опционов, что и приводит нас к методу Монте-Карло.
Таким образом, в данной работе будет исследован вопрос об оценке опционов методом Монте-Карло и ускорении соответствующих вычислений с помощью программных средств MATLAB Parallel Computing Toolbox и технологии гибридных вычислений OpenCL.
Купить

В процессе рассмотрения задачи, были разобраны и реализованы три подхода к нахождению цены европейского и азиатского Call-опциона (таким же образом можно искать и Put-опцион, формула его стоимости немногим отличается от Call, главное - правильно спрогнозировать цену на базовый актив в нужный нам момент времени). Все эти методы сходятся и дают нам примерно один и тот же результат достаточной точности.
Для получения ускорения работы алгоритмов были написаны программы на MATLAB, С и OpenCL, которые запускались на высокопроизводительных кластерах. В результате измерения времени данных алгоритмов было получено различное ускорение.
Реализации на MATLAB дали хорошее ускорение, но время работы про-грамм было неудовлетворительным. Реализации на OpenCL показали чуть меньшее ускорение ввиду особенностей работы написанного для алгоритмов генератора, но время работы программ оказалось гораздо меньше.
В итоге были выполнены все поставленные задачи и сделан вывод, что ускорение расчета опционов на OpenCL имеет потенциал.

Купить