Неабелевы струны в N= 2 суперсимметричной квантовой хромодинамике, деформированной массой присоединённой материи
|
Введение 3
1 Основная модель 5
2 Бозонные решения в четырёхмерной теории 7
3 Фермионные ноль-моды: суперориентационный сектор 9
3.1 Решения недеформированной теории 10
3.2 Разложение по малому параметру ц 13
3.3 Квазинулевые моды 18
4 Эффективное действие в ориентационном секторе 21
5 Фермионные ноль-моды: супертрансляционный сектор 23
5.1 Супертрансляционные ноль-моды N=2 теории 23
5.2 Ненарушенные генераторы 24
5.3 N=1 супертрансляционный сектор 25
5.3.1 Преобразования суперсимметрии 26
5.3.2 Область промежуточных значений r 26
5.3.3 Область малых r 28
6 Эффективное действие в пределе больших ц 28
6.1 Фермионная часть трансляционного сектора 28
6.2 Полное эффективное действие для струны 29
Заключение 30
Приложение 31
A.1 Уравнения для супертрансляционных компонент 31
Список литературы
1 Основная модель 5
2 Бозонные решения в четырёхмерной теории 7
3 Фермионные ноль-моды: суперориентационный сектор 9
3.1 Решения недеформированной теории 10
3.2 Разложение по малому параметру ц 13
3.3 Квазинулевые моды 18
4 Эффективное действие в ориентационном секторе 21
5 Фермионные ноль-моды: супертрансляционный сектор 23
5.1 Супертрансляционные ноль-моды N=2 теории 23
5.2 Ненарушенные генераторы 24
5.3 N=1 супертрансляционный сектор 25
5.3.1 Преобразования суперсимметрии 26
5.3.2 Область промежуточных значений r 26
5.3.3 Область малых r 28
6 Эффективное действие в пределе больших ц 28
6.1 Фермионная часть трансляционного сектора 28
6.2 Полное эффективное действие для струны 29
Заключение 30
Приложение 31
A.1 Уравнения для супертрансляционных компонент 31
Список литературы
Хорошо известно, что сильные взаимодействия обладают феноменом конфайн- мента. Этот факт следует из реальных экспериментальных наблюдений, а также из численных расчётов, но до сих пор никому не удалось вывести это свойств из первых принципов теории сильных взаимодействии. Существует мнение, что этот эффект существенно непертурбативный. В случае суперсимметричных теорий, однако, кое-что может быть вычислено в режиме сильной связи даже если полная теория нерешаема. Это происходит, когда в теории есть БПС сектор. Примером такой теории является SU(N) xU(1) N=2 квантовая хромодинамика, и изучение этой теории помогает проникнуть в суть несуперсимметричной квантовой хромодинамики и других теорий.
Общая идея следует из рассмотрения эффекта Мейснера в сверхпроводнике. Вообще говоря, сверхпроводник выталкивает электромагнитное поле из себя. Однако, если приложить сильное магнитное поле перпендикулярно тонкой сверхпроводящей пластине, то в ней возникнут тонкие потоковые трубки (Абри- косовские струны). Эффективно эти трубки связывают между собой монополи, сидящие на поверхности сверхпроводника. Такие вихри живут в (Хиггсоподобном) вакууме сверхпроводника. Замечательно, что если (гипотетически) сделать сверхпроводящую пластину толще, то потоковые трубки не рвутся; вместо этого они удлиняются, и их энергия пропорциональна их длине.
Несложно увидеть некоторое сходство с ситуацией в квантовой хромодинамике, где энергия трубки хромоэлектрического потока между кварками примерно пропорциональна её длине. И действительно, т’ Хофт [1] и Мандельштам [2] предложили гипотезу дуального эффекта Мейснера, которая могла бы объяснить цветовой конфайнмент в неабелевых калибровочных теориях. Неабелевы струны естественно связываются с удержанием монополей [3, 4].
Решение Зайберга-Виттена [5]N =2 суперсимметричной теории Янга-Миллса показало, что в этой теории присутствуют безмассовые монополи, и что добавление небольшой (N = 2 )-нарушающей деформации ведёт к их конденсации, образуя струны, несущие хромоэлектрический поток. Однако оказывается, что эти струны являются абелевыми, и что детали конфайнмента в этой теории далеки от реальной хромодинамики. Нужна была модель с неабелевым конфайнментом.
Одна из таких моделей описана, к примеру, в обзоре [3, 4]. Авторы рассматривают четырёхмерную N =2 теорию Янга-Миллса с калибровочной группой SU(N)xU(1) (далее — основная теория, теория в балке) с F-членом Файе- Илиопулоса (ФИ) и Nf = Nароматами фундаментальной материи. В этой тео¬рии образуются монополи, подверженные конфайнменту; они «дуальны кваркам в том же смысле, что трубки магнитного потока дуальны трубкам электрического потока». Эти монополи соединены неабелевыми струнами, которые обладают, кроме трансляционных (и супертрансляционных) также и ориентационными (и суперориентационными) степенями свободы, связанными с вращениями цветовых потоков внутри неабелевой группы, см. [6, 7, 8, 9] и обзоры [3, 4, 10, 11, 12].
В работе [13] была рассмотрена похожая модель с ФИ //-членом и нулевыми массами кварков для случая калибровочной группы U(2), в [14] — для U(N) при произвольном N. Однако главная особенность этой работы в том, что авторы рассматривают деформацию теории, нарушающую N=2 до N=1 . Главный результат заключается в выражении для эффективного действии в низкоэнергетическом пределе на мировой поверхности струны: полученная модель получила название «гетеротическая N =2 сигма-модель с CP(N — 1) пространством с бозонными полями и дополнительным правым фермионным полем, взаимодействующим специальным образом с фермионными полями N = (2, 2) CP(N — 1) модели.»
Задача, рассмотренная в последней работе, носит в некотором смысле академический характер, так как в ней ФИ /-член был введён искусственно. Кроме того, при такой постановке задачи было бы невозможно ввести массы кварков, так как иначе в теории не существовали бы 1/2 БПС-решения. Напротив, в настоящей работе я рассматриваю SU(N)xU(1) теорию с ненулевыми массами кварков, деформируя её введением массового члена для присоединённой материи с параметром деформации ц. Оказывается, что этот случай существенно отличается от рассмотренного в [14]. Больше всего это различие проявляется в эффективной теории: ориентационный и трансляционный секторы полностью расщепляются, в то время как суперориентационный сектор «поднимается» (становится массивным) и вовсе уходит из эффективной теории.
Из физических соображений рассматривается только деформация массовым членом присоединённой материи. В N = 2 квантовую хромодинамику помимо кварков и глюонов входят также присоединённые поля фермионов Л1, скалярные кварки, а также дополнительный присоединённый мультиплет полей а, аа и Л2(более подробно это объяснено в главах 1 и 3). При деформации теория переходит в N =1 КХД, в которой присоединённый мультиплет уже отсутствует. Более того, за счёт конденсации скалярных полей а, аа теория N = 2 абелизуется, так что отщепление этих полей ведёт к настоящей неабелевой теории. Разумеется, N = 1 КХД является более близкой к реальной квантовой хромодинамике, нежели N = 2 , и её изучение в непертурбативном режиме имеет большое теоретическое значение для понимания физики самой квантовой хромодинамики. Это является важнейшей мотивацией данной работы.
Основные результаты, полученные в данной работе, следующие:
1. Выведены суперориентационные моды неабелевой струны. Показано, что они становятся ненулевыми модами при введении ц- деформации.
2. Выведена низкоэнергетическая эффективная двумерная теория для суперориентационных мод при малых деформациях.
3. Полечены супертрансляционные моды струны в пределе больших деформаций.
4. Выведена низкоэнергетическая эффективная двумерная теория на неабелевой струне в пределе больших деформаций. Показано, что её фермионный сектор сводится к супертрансляционному.
Структура данной работы следующая. В главе 1 рассматривается основная N=2 модель. В главе 2 представлено решение для неабелевой бозонной струны. Эти две главы содержат в большей степени уже ранее полученные результаты. В главе 3 я вывожу суперориентационные нулевые моды, начиная с N =2 теории и переходя затем к деформированному N =1 случаю; эффективное действие на мировом листе представлено в главе 4. Глава 5 посвящена выводу супертрансляционных нулевых мод, снова начиная с недеформированной теории и затем включая деформацию. Эффективное действие в супертрансляционном секторе выводится в главе 6. В конце этой главы представлен также основной результат: эффективное действие в пределе большого параметра деформации щ Выводы представлены в Заключении. Некоторые детали вычислений суперориентационных нулевых мод приведены в Приложении.
Общая идея следует из рассмотрения эффекта Мейснера в сверхпроводнике. Вообще говоря, сверхпроводник выталкивает электромагнитное поле из себя. Однако, если приложить сильное магнитное поле перпендикулярно тонкой сверхпроводящей пластине, то в ней возникнут тонкие потоковые трубки (Абри- косовские струны). Эффективно эти трубки связывают между собой монополи, сидящие на поверхности сверхпроводника. Такие вихри живут в (Хиггсоподобном) вакууме сверхпроводника. Замечательно, что если (гипотетически) сделать сверхпроводящую пластину толще, то потоковые трубки не рвутся; вместо этого они удлиняются, и их энергия пропорциональна их длине.
Несложно увидеть некоторое сходство с ситуацией в квантовой хромодинамике, где энергия трубки хромоэлектрического потока между кварками примерно пропорциональна её длине. И действительно, т’ Хофт [1] и Мандельштам [2] предложили гипотезу дуального эффекта Мейснера, которая могла бы объяснить цветовой конфайнмент в неабелевых калибровочных теориях. Неабелевы струны естественно связываются с удержанием монополей [3, 4].
Решение Зайберга-Виттена [5]N =2 суперсимметричной теории Янга-Миллса показало, что в этой теории присутствуют безмассовые монополи, и что добавление небольшой (N = 2 )-нарушающей деформации ведёт к их конденсации, образуя струны, несущие хромоэлектрический поток. Однако оказывается, что эти струны являются абелевыми, и что детали конфайнмента в этой теории далеки от реальной хромодинамики. Нужна была модель с неабелевым конфайнментом.
Одна из таких моделей описана, к примеру, в обзоре [3, 4]. Авторы рассматривают четырёхмерную N =2 теорию Янга-Миллса с калибровочной группой SU(N)xU(1) (далее — основная теория, теория в балке) с F-членом Файе- Илиопулоса (ФИ) и Nf = Nароматами фундаментальной материи. В этой тео¬рии образуются монополи, подверженные конфайнменту; они «дуальны кваркам в том же смысле, что трубки магнитного потока дуальны трубкам электрического потока». Эти монополи соединены неабелевыми струнами, которые обладают, кроме трансляционных (и супертрансляционных) также и ориентационными (и суперориентационными) степенями свободы, связанными с вращениями цветовых потоков внутри неабелевой группы, см. [6, 7, 8, 9] и обзоры [3, 4, 10, 11, 12].
В работе [13] была рассмотрена похожая модель с ФИ //-членом и нулевыми массами кварков для случая калибровочной группы U(2), в [14] — для U(N) при произвольном N. Однако главная особенность этой работы в том, что авторы рассматривают деформацию теории, нарушающую N=2 до N=1 . Главный результат заключается в выражении для эффективного действии в низкоэнергетическом пределе на мировой поверхности струны: полученная модель получила название «гетеротическая N =2 сигма-модель с CP(N — 1) пространством с бозонными полями и дополнительным правым фермионным полем, взаимодействующим специальным образом с фермионными полями N = (2, 2) CP(N — 1) модели.»
Задача, рассмотренная в последней работе, носит в некотором смысле академический характер, так как в ней ФИ /-член был введён искусственно. Кроме того, при такой постановке задачи было бы невозможно ввести массы кварков, так как иначе в теории не существовали бы 1/2 БПС-решения. Напротив, в настоящей работе я рассматриваю SU(N)xU(1) теорию с ненулевыми массами кварков, деформируя её введением массового члена для присоединённой материи с параметром деформации ц. Оказывается, что этот случай существенно отличается от рассмотренного в [14]. Больше всего это различие проявляется в эффективной теории: ориентационный и трансляционный секторы полностью расщепляются, в то время как суперориентационный сектор «поднимается» (становится массивным) и вовсе уходит из эффективной теории.
Из физических соображений рассматривается только деформация массовым членом присоединённой материи. В N = 2 квантовую хромодинамику помимо кварков и глюонов входят также присоединённые поля фермионов Л1, скалярные кварки, а также дополнительный присоединённый мультиплет полей а, аа и Л2(более подробно это объяснено в главах 1 и 3). При деформации теория переходит в N =1 КХД, в которой присоединённый мультиплет уже отсутствует. Более того, за счёт конденсации скалярных полей а, аа теория N = 2 абелизуется, так что отщепление этих полей ведёт к настоящей неабелевой теории. Разумеется, N = 1 КХД является более близкой к реальной квантовой хромодинамике, нежели N = 2 , и её изучение в непертурбативном режиме имеет большое теоретическое значение для понимания физики самой квантовой хромодинамики. Это является важнейшей мотивацией данной работы.
Основные результаты, полученные в данной работе, следующие:
1. Выведены суперориентационные моды неабелевой струны. Показано, что они становятся ненулевыми модами при введении ц- деформации.
2. Выведена низкоэнергетическая эффективная двумерная теория для суперориентационных мод при малых деформациях.
3. Полечены супертрансляционные моды струны в пределе больших деформаций.
4. Выведена низкоэнергетическая эффективная двумерная теория на неабелевой струне в пределе больших деформаций. Показано, что её фермионный сектор сводится к супертрансляционному.
Структура данной работы следующая. В главе 1 рассматривается основная N=2 модель. В главе 2 представлено решение для неабелевой бозонной струны. Эти две главы содержат в большей степени уже ранее полученные результаты. В главе 3 я вывожу суперориентационные нулевые моды, начиная с N =2 теории и переходя затем к деформированному N =1 случаю; эффективное действие на мировом листе представлено в главе 4. Глава 5 посвящена выводу супертрансляционных нулевых мод, снова начиная с недеформированной теории и затем включая деформацию. Эффективное действие в супертрансляционном секторе выводится в главе 6. В конце этой главы представлен также основной результат: эффективное действие в пределе большого параметра деформации щ Выводы представлены в Заключении. Некоторые детали вычислений суперориентационных нулевых мод приведены в Приложении.
Главной целью данной работы был вывод эффективного действия для струны в низкоэнергетическом пределе, и результат даётся формулой (6.4):
Д1+1 = j d2x(^2< (1(дж0)2+ (LidR(L+ (RiBL^ + 2ф (|dn|2+ (пдкn)2)
На основании этого результата можно сказать, что эффективная теория может быть решена методом Виттена [16] разложением по 1/N. Это поможет понять физику явления (конфайнмент монополей) в пределе, когда теория становится N=1 квантовой хромодинамикой.
Одним из возможных направлений для дальнейшей работы может быть отказ от условия (1.8) и переход к случаю неравных масс кварков. Другой путь обобщения полученного результата заключается в рассмотрении теории с числом ароматов Nf, превышающим число N для калибровочной группы SU(N).
В соответствии с главной мотивацией данной работы — попытка понять конфайнмент в реальной квантовой хромодинамике — в будущем мы планируем ещё больше приблизиться к последней, то есть продвигаться к теории с полностью нарушенной суперсимметрией.
Д1+1 = j d2x(^2< (1(дж0)2+ (LidR(L+ (RiBL^ + 2ф (|dn|2+ (пдкn)2)
На основании этого результата можно сказать, что эффективная теория может быть решена методом Виттена [16] разложением по 1/N. Это поможет понять физику явления (конфайнмент монополей) в пределе, когда теория становится N=1 квантовой хромодинамикой.
Одним из возможных направлений для дальнейшей работы может быть отказ от условия (1.8) и переход к случаю неравных масс кварков. Другой путь обобщения полученного результата заключается в рассмотрении теории с числом ароматов Nf, превышающим число N для калибровочной группы SU(N).
В соответствии с главной мотивацией данной работы — попытка понять конфайнмент в реальной квантовой хромодинамике — в будущем мы планируем ещё больше приблизиться к последней, то есть продвигаться к теории с полностью нарушенной суперсимметрией.