ВВЕДЕНИЕ 4
2 ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ 6
2.1 Гелиоцентрические координаты 6
2.2 Кинетическая и потенциальная энергия 8
2.3 Уравнения Лагранжа и функция Гамильтона 10
2.4 Системы оскулирующих элементов 11
2.5 Разложение гамильтониана 13
2.5.1 Разложение дополнительной части возмущающей функции 14
2.5.2 Разложение главной части возмущающей функции 14
2.5.3 Вычислительный алгоритм разложения функции ц'/Д 16
2.6 Программное обеспечение для построения разложений 20
2.6.1 Модуль M_KEPLER.py 20
2.6.2 Модуль M_POISSON.py 21
2.6.3 Модуль M_LAPLACE.py 21
2.7 Результаты 23
2.8 Обсуждение результатов 25
3 ЗАКЛЮЧЕНИЕ 26
4 ПОЛОЖЕНИЯ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ 26
Список литературы 27
Приложение А 29
Приложение Б 30
Приложение В 31
Приложение Г 32
Приложение Д
При решении задачи нескольких тел основными используемыми системами отсчета являются система координат Якоби и гелиоцентрическая система координат [14].
Первая является наиболее удобной для теоретического изучения задачи трех тел, например, для описания системы Солнце — Земля — Луна [14]. Однако в случае большого числа планет якобиевы координаты громоздки, так как положение каждого тела определяется положением всей предыдущей подсистемы тел [6]. Это приводит к необходимости разложения возмущающего потенциала системы в ряд по степеням малого параметра [19].
При изучении планетного движения гелиоцентрические координаты оказываются более удобными в практическом отношении. При любом числе планет главная часть возмущающей функции представляется суммой слагаемых, каждое из которых зависит от положения лишь пары планет [15].
Терминологическое замечание. Во многих исследованиях, посвященных построению планетных теорий [6, 9, 17], авторы используют при составлении исходных уравнений движения гамильтонов подход и вводят систему обобщенных координат и импульсов, которую называют каноническими гелиоцентрическими координатами1. Эта система канонических координат была впервые рассмотрена Пуанкаре. Она определяется с помощью классических декартовых координат и ньютоновских импульсов (произведение массы тела на его скорость) в фиксированной инерциальной (абсолютной) системе отсчета. Именно, если в системе, состоящей из Солнца и Nпланет, обозначить радиус-вектор Солнца, отнесенный к абсолютным осям, как Хо, а абсолютные радиусы-векторы планет как Xk (k = 1,..., N), то за обобщенные координаты ukпринимаются координаты всех планет, отнесенные к Солнцу:
uk= Xk - Хо, k = 1,...,N.
За сопряженные обобщенные импульсы ukпо построению берут N соответствующих ньютоновских импульсов этих планет
Uk =Pk, k =1,...,N,
отнесенных к абсолютным осям. Для доопределения системы координат (система содержит N +1 тело) вводится еще одна пара координата-импульс, за которые по построению
1В литературе также используются названия канонические относительные координаты [6], а также канонические астроцентрические координаты [13].
полагают соответственно радиус-вектор Солнца и полный ньютоновский импульс материальной системы в абсолютной системе отсчета:
N
U0 = X0; U0 = ^ Pk:
к=0
При указанном выборе обобщенных координат и импульсов уравнения движения системы могут быть записаны в гамильтоновой форме и положены в основу всего дальнейшего построения планетной теории.
В настоящей работе предлагается метод исследования планетных орбит, в котором движение каждого тела рассматривается также в гелиоцентрической системе отсчета, но в основу которого положен лагранжев подход при составлении исходных уравнений. А именно, для описания материальной системы используются гелиоцентрические координаты и производные этих координат по времени.
Фундаментальным этапом построения теории планетного движения (в любой системе координат) является разложение гамильтониана системы в ряд при помощи базовых функций. Чаще всего — это ряд Пуассона. Выбор метода разложения определяется особенностями и условиями рассматриваемой задачей. Наиболее трудоемким шагом (в любом методе) является разложение величины обратного расстояния между двумя планетами, входящей в главную часть возмущающей функции [8, 12].
Со времен Эйлера было предложено множество способов разложения возмущающей функции системы. Одним из наиболее известных способов представления главной части является разложение с помощью полиномов Лежандра [11]. Метод эффективен, если от-ношение расстояний возмущаемого и возмущающего тел до центрального является малым [17]. В другом классическом методе применяются коэффициенты Лапласа (частный случай функций Пуассона [21]). Как отмечается в работе [17], использующий коэффициенты Лапласа метод можно употреблять в большем числе случаев по сравнению с методом, опирающимся на полиномы Лежандра.
В любом способе, использующем ряды по степеням эксцентриситетов и наклонов (или по степеням величин порядка эксцентриситета и наклона), последние должны быть малы. При достижении значений 0:2 А 0:3 соответствующий ряд может расходиться [16, 20]. В настоящей работе для разложения главной части возмущающей функции мы используем эффективный метод, опирающийся на коэффициенты Лапласа [8]. Этот метод может быть применен для исследования эволюции орбит, близких к круговым и компланарным.
Основанное на подходящей замене коэффициентов Лапласа сокращение числа слагаемых в разложении о!/Д вида (24) проиллюстрировано Ласкаром и Робютелем [8] лишь на примере разложения вековой части. Представляется целесообразным применить указанный метод также для периодической части разложения. Достоинством указанного метода является возможность избежать использования производных от коэффициентов Лапласа, а также то, что после его применения количество коэффициентов Лапласа с различными нижними и верхними индексами в разложении (24) значительно снижается.
Результаты настоящей работы предполагается использовать для построения осредненных уравнений движения планетной системы. Автор выражает благодарность научному руководителю К. В. Холшевникову за руководство работой и помощь в подготовке рукописи, а также ресурсному центру «Вычислительного центра Санкт-Петербургского государственного университета» за предоставленную возможность использования вычислительного кластера при построении всех разложений. Работа выполнена при финансовой поддержке СПбГУ (грант 6.37.341.2015).
