Разбиение математики на разделы, как, впрочем, и всего знания на науки, весьма условно. Средневековый учёный мог всю жизнь заниматься одним делом, а потомки называли бы его физиком, астрономом, математиком и философом одновременно.
Однако, не упрекая и не оправдывая существующий порядок вещей, стоит обратить внимание на одно его очевидное достоинство. Многие вопросы, лежащие на пересечении смежных областей знания, открываются под разными углами и, порой, демонстрируют совершенно неожиданные для приверженцев конкретной точки зрения свойства.
Данная работа, в целом, посвящена теории кодирования, подразделу теории информации. Задача помехоустойчивого кодирования не нова, и классические подходы к её решению были сформулированы ещё Р. Хэммингом в середине прошлого века.
В последние десятилетия вычислительная техника сделала огромный шаг вперёд. Стало возможным применение сложных алгоритмов на широком классе устройств. Сам список этих устройств удлинился на порядок, что, в свою очередь, расширило спектр задач и предъявило более высокие требования к алгоритмам их решения и программным реализациям.
Ещё не так давно закон Мура обеспечивал стабильный рост вычислительных мощностей, а внедрению нового эффективного алгоритма зачастую предпочитался переход на более производительную архитектуру. Сегодня этот закон потерял свою актуальность, чем можно объяснить резко возросшую популярность технологий параллельного программирования и гетерогенных вычислительных комплексов.
Такое развитие событий благотворно повлияло на теоретическую сторону информационных технологий: быстрые алгоритмы стали особенно востребованы. Однако их сложность настолько возросла, что выбрать лучшее решение из удовлетворительных может оказаться непозволительно затратно и долго.
Стремясь всё же удовлетворить теоретический интерес и практическую потребность в хороших кодах, данная работа ставит перед собой следующие цели:
• описать основные идеи и методы теории кодирования;
• рассмотреть применение методов рациональной интерполяции в теории кодирования;
• оценить перспективы использования методов рациональной интерполяции в этой области.
В настоящей статье развит основанный на идеях К. Якоби подход к решению задачи рациональной интерполяции, заключающийся в представлении решения посредством подходящих ганкелевых полиномов. Предложена процедура эффективного вычисления этих полиномов, позволяющая построить не только одиночную интерполянту, но и целое семейство интерполянт при всех возможных комбинациях степеней числителя и знаменателя. Этот аспект обеспечивает возможность выбора решения, не только формально удовлетворяющего интерполяционной таблице, но и обладающего дополнительными свойствами, существенными для задач аппроксимации (как, к примеру, ограниченность на определенном интервале вещественной оси).
Следует отметить, что появление матриц ганкелевой структуры в решениях задач помехоустойчивого кодирования и аппроксимации не должно считаться абсолютно неожиданным: достаточно вспомнить вид системы нормальных уравнений при построении полиномиальной аппроксимации интерполяционной таблицы по методу наименьших квадратов [9]. В книгах [13, 17] можно найти и другие задачи, в которых такие матрицы возникают естественным образом — например, задачу интерполяции таблицы (2.8) комбинацией экспонент: f (x) = рт=1 a ekj.
Направления дальнейших исследований
Развитие предложенного подхода видится в направлении интерполяции многомерной. Кроме того, предполагается произвести сравнение вычислительной эффективности алгоритма с альтернативными подходами, в частности с представлением рационального интерполянта в барицентрической форме [4].
