Тема: Динамические сетевые игры с попарным взаимодействием

На протяжении многих лет игровые и сетевые модели успешно используются для описания сложных систем и работы с ними. Результаты, полученные в теории игр, нашли большое количество приложений в самых разных сферах человеческой деятельности — в социологии, экономике, организации транспортных перевозок, линий связи, военном деле и многом другом.
Согласно определению, приведенному Г. Оуэном, [5] теория игр — раздел прикладной математики, исследующий модели принятия решений в условиях несовпадения интересов сторон (которые называются игроками), когда каждая сторона стремится воздействовать на развитие ситуации в собственных интересах. Кооперативной называется игра, в которой группы игроков — коалиции — могут объединять свои усилия для достижения наилучшего результата.
Теория графов с точки зрения теоретической дисциплины может рассматриваться как одна из частей дискретной математики, исследующий свойства конечных множеств с заданными отношениями между элементами [3].
Теория графов с точки зрения прикладной дисциплины, позволяет описывать и исследовать многие технические, экономические, биологические и социальные системы. Подробно описаны методы дискретной математики, моделирующие процессы произвольной природы, в том числе используя графы, Ф.С. Робертсом в книге [14]. Начало этой науки — теории графов — было положено Эйлером, при решении известной многим задачи о кенигсбергских мостах (как пройти по всем семи мостам, не проходя ни по одному из них дважды). Позднее теория графов применялась Кирхгофом при исследовании им электрических сетей, Кели в органической химии, Гамильтоном для решения головоломок и многими другими математиками и специалистами, занимающимися картографией и раскраской карт. Решение Эйлера задачи о мостах совсем недавно было применено для оптимизации движения подметальных машин в больших городах, что дало большую экономию топлива, в следствии чего так же улучшились экологические показатели региона.
Между теорией игр и теорией графов существует тесная взаимосвязь. Инструменты и результаты теории графов широко используются в задачах по теории игр:
• древовидный граф задает структуру принятия решений в игре в развернутой форме [7],
• граф, где вершины — игроки, задает структуру всевозможных коалиций [4],
• граф отражает постоянные или временные связи между игроками,
• на графе в дискретном времени осуществляется "игра поиска"(вершины — позиции игроков, ребра — возможные пути переходов) [6].
Отдельно следует выделить теорию сетевых игр — относительно молодой (развивающийся с конца 70-х годов прошлого века) раздел теории игр, акцентирующий внимание как раз на формировании сетевых структур — устойчивых связей между игроками — в условиях несовпадения интересов. Точнее употреблять термин игра формирования сети, результатом которой является сеть, устанавливающая взаимосвязи между игроками. Далее рассматриваются так называемые "игры на сетях”, где сеть уже является фиксированной, и не подлежит дальнейшим изменениям [24].
Основополагающим понятием любой игры является понятие выигрыша. В кооперативных играх важнейшей частью исследования является рассмотрение возможности создания коалиций и предложение по корректному распределению суммарного кооперативного выигрыша между игроками. Для этого наиболее удобен аппарат характеристических функций, показывающий возможности коалиции и являющийся основой для построения схем распределения суммарного выигрыша, приемлемых для игроков- участников. Достаточно полно по вопросам описания и решения кооперативные игры исследуются в книге С.Л.Печерского и Е.Б.Яновской [13]. В более поздних работах Печерского решается вопрос о применении пропорционального дележа для игры многих лиц и для игр с нетрансферабельной полезностью.
Не смотря на то, что теория кооперативных игр непрерывно развивается, вопрос о разделении выигрыша коалиций во многих постановках по- прежнему открыт. В реальной жизни люди постоянно сталкиваются с ситуациями, в которых они взаимодействуют с кем-либо через посредников. Иными словами, даже работая с крупными компаниями, взаимодействие сводится к решению вопросов один на один с посредником, представителем компании. Это один из многих примеров попарного взаимодействия между игроками. Впервые в теории игр попарное взаимодействие упоминается в работе [21]. В некооперативной игре с попарным взаимодействием исследуется существование равновесия по Нэшу, а так же время его нахождения. Попарное взаимодействие было так же рассмотрено на примере распространения информации и дезинформации в социальных сетях в работе [15]. Однако все эти работы относятся к некооперативным играм. Понимая актуальность данной темы, автором работы была выбрана для исследования структура сетевых игр с попарным взаимодействием игроков в применении к кооперативным многошаговым играм. После исследования кооперативного поведения, очень важно рассмотреть вопрос о том, следуют ли игроки принятым в начале игры кооперативным соглашениям на следующих шагах игры. Если найденное решение обладает свойством динамической (сильно-динамической) устойчивости, у игроков нет никаких причин отклоняться от принятых соглашений. Понятие сильной динамической устойчивости впервые было введено в [9]. Зачастую решения кооперативных игр не обладают этим свойством. Тогда возникает необходимость предупредить возможное отклонение игроков от кооперативного поведения. Процедура распределения дележа (ПРД) — это структура выплат, которая обеспечивает реализацию решения — была введена с целью предотвратить отклонения игроков в работе [11].
Работа имеет следующую структуру: в первой главе приводится краткий обзор истории исследования динамических сетевых игр — различные модели кооперации и поведения игроков.
Во второй главе приводится общее построение математической модели попарного взаимодействия игроков на сети на примере двухшаговой игры. Описывается процесс построения характеристической функции и исследуются ее свойства. Так же рассматривается еще один, альтернативный способ построения характеристической функции в данной задачи, который приводит к аналогичному результату. В последнем параграфе второй главы приводится доказательство выпуклости игры в форме характеристической функции как для двухшаговой игры, так и для одношаговой подыгры, начинающейся со второго шага.
Третья и четвертая главы посвящены решению кооперативных сетевых игры с попарным взаимодействием игроков. В третьей главе в качестве решения используется вектор Шепли. Для особого типа сетей (сеть-звезда) сделано преобразование формулы компонент вектора Шепли, которое существенно снижает вычислительную сложность данного процесса. А именно, упрощенная формула не требует вычисления значений характеристической функции для каждой коалиции, а только лишь для коалиций не более чем из двух участников. Так же в третьей главе рассматривается вопрос о динамической устойчивости вектора Шепли. Этот вопрос исследован на двух примерах: повторяющейся игре "дилемма заключенного" и примере общего вида. В первом случае показывается динамическая устойчивость вектора Шепли, во втором — неустойчивость.
В четвертой главе в качестве решения взято С-ядро. В силу того, что характеристическая функция выпукла, сильно возрастает значимость этого принципа оптимальности для данного класса задач. С-ядро для сетевых игр с попарным взаимодействием исследуется на примере игры трех лиц. Построен общий вид ядра для двухшаговой игры и одношаговой подыгры, начинающейся со второго шага. Исследован вопрос о сильной динамической устойчивости С-ядра. Выведены условия, накладываемые на матрицы выигрышей, гарантирующие сильную динамическую устойчивость С-ядра в данной задаче.
Целью данной работы является исследование динамических кооперативных сетевых игр с попарным взаимодействием игроков. В связи с этим можно сформулировать следующие этапы решения поставленной задачи:
• исследование возможностей игроков при попарном взаимодействии,
• рассмотрение вопроса о кооперации в данной постановке задачи,
• построение характеристической функции для данной модели в случае одношаговой и многошаговых игр,
• исследование свойств характеристической функции,
• поиск решений в играх с попарным взаимодействием,
• анализ сильной динамической устойчивости найденных решений,
• иллюстрация полученных результатов на примерах.
Купить

В данной работе рассмотрен особый класс динамических кооперативных игр, а именно — сетевые кооперативные игры с попарным взаимодействием. Термин «попарное» подразумевает взаимодействие игроков один на один, без посредников. Игру определяет геометрическая структура — сеть, вершинами которой являются сами игроки, а ребрами — связи между ними. По этим связям осуществляются одновременные биматричные игры между «соседями» — участниками, расположенными на концевых вершинах одного и того же ребра.
В ходе работы были получены следующие результаты:
• Построена математическая модель сетевых игр с попарным взаимодействием.
• Приведены два способа построения характеристической функции, каждый из которых приводит к одинаковому результату. Оба способа проиллюстрированы численными примерами.
• Исследованы свойства характеристической функции в игре с попарным взаимодействием, в частности, доказана выпуклость игры в форме характеристической функции.
• Исследованы методы решения кооперативных сетевых игр с попарным взаимодействием.
• Для особого класса сетей (сеть-звезда) произведено преобразование формулы компонент вектора Шепли, существенно снижающее вычислительную сложность процесса поиска решения.
• Рассмотрен вопрос о динамической устойчивости вектора Шепли на примере повторяющейся игры «Дилемма заключенного» и примере общего вида. В первом случае показана динамическая устойчивость вектора Шепли, во втором — неустойчивость, и способы преодоления этой трудности.
• Так же в качестве решения рассмотрено С-ядро на примере игры трех лиц. Построен общий вид ядра, исследован вопрос о сильной динамической устойчивости решения, и найдены условия для этого. Полученный результат проиллюстрирован примером.
• Все полученные результаты прошли аппробацию на международных научных конференциях и семинарах.

Купить