Введение 3
Простая нестационарная система обслуживания 4
Нестационарные системы обслуживания с относительными приоритетами 5
Постановка задачи 5
Теория 7
Алгоритм составления матрицы A 9
Сравнение результатов с имитационной моделью 11
Заключение 14
Список литературы
Нестационарные системы обслуживания (НСО) — это системы массового обслуживания [1] с конечным количеством заявок и, следовательно, состояний, каждое из которых определяется числом поступивших и числом обслуженных заявок [2]. Большая часть работ по теории массового обслуживания посвящена стационарному режиму систем с неограниченными заявками и его характеристикам, таким как пропускная способность, среднее количество заявок в очереди и т. д. Но он существует только у тех систем, у которых задания обслуживаются в среднем быстрее, чем поступают. Потому для многих задач практический интерес представляет исследование нестационарных систем. Поскольку они завершают обслуживание за конечное время, то вместо стационарного режима рассматривают переходный процесс и его характеристики, такие как вероятность того, что длина очереди превысит заданное число, вероятность нахождения в свободном состоянии, математическое ожидание времени, за которое будет обработано некое количество заявок, вероятность завершения обслуживания за фиксированное время и т. д.
Вероятности нахождения системы в том или ином состоянии есть функции от времени, которые являются решением обратного уравнения Чепмена — Колмогорова [3]:
dP (t)
dt = AP (t)
с начальным условием:
Р (0) = (1, 0,..., 0)Т , (2)
где Р(t)— вектор-функция, i-й элемент которой равен вероятности нахождения системы в i-м состоянии в момент t, а А — матрица интенсивностей, где Aij— интенсивность перехода из j-го состояния в i-е при i= j, Aii— суммарная интенсивность переходов из i-го состояния.
В рамках данной работы был разработан алгоритм составления уравнений уравнений Чепмена — Колмогорова и написана его программная реализация, которая, в совокупности с реализацией метода, описанного в [5], может быть использована для расчета надежности и пропускной способности аппаратно-программных комплексов, у которых множество выполняемых заданий можно разделить на группы с разными приоритетами. В рас-смотренном примере для простоты были использованы заявки только двух приоритетов, но сконструированный алгоритм применим к системам с любым количеством приоритетов. В будущем возможно расширение метода для применения к многоканальным системам и/или системам с неэкспоненциальными законами распределения времен поступления и обработки заявок.
