Помощь студентам в учебе
СИММЕТРИЙНЫЙ АНАЛИЗ ОДНОЙ МОДЕЛИ ЦЕНООБРАЗОВНИЯ ОПЦИОНОВ С УЧЕТОМ ЗАТРАТ НА ИСПОЛНЕНИЕ
|
Введение 3
Актуальность темы исследования 3
Степень разработанности темы исследования 3
1 Теоретическая часть 7
1.1 Однопараметрические группы Ли 7
1.2 Продолженное пространство и продолжения операторов .... 10
1.3 Определяющее уравнение 11
1.4 Алгебра Ли 13
1.5 Инвариантные решения, оптимальные системы подалгебр .... 14
2 Решение 16
2.1 Группы преобразования эквивалентности 16
2.2 Групповая классификация 28
2.3 Предположение F00= 0 38
2.4 Решение уравнения (2.3.25) 43
2.5 Решение уравнений для F = 92 48
2.6 Оптимальная система подалгебр для F = ev3q 51
2.7 Оптимальная система подалгебр для F = 0'q 58
2.8 Случай F00 = 0 73
2.9 Сведение Mк уравнению теплопроводности 89
2.10 Сведение уравнения при F00 = 0 к уравнению теплопроводности 94
Список литературы
Актуальность темы исследования 3
Степень разработанности темы исследования 3
1 Теоретическая часть 7
1.1 Однопараметрические группы Ли 7
1.2 Продолженное пространство и продолжения операторов .... 10
1.3 Определяющее уравнение 11
1.4 Алгебра Ли 13
1.5 Инвариантные решения, оптимальные системы подалгебр .... 14
2 Решение 16
2.1 Группы преобразования эквивалентности 16
2.2 Групповая классификация 28
2.3 Предположение F00= 0 38
2.4 Решение уравнения (2.3.25) 43
2.5 Решение уравнений для F = 92 48
2.6 Оптимальная система подалгебр для F = ev3q 51
2.7 Оптимальная система подалгебр для F = 0'q 58
2.8 Случай F00 = 0 73
2.9 Сведение Mк уравнению теплопроводности 89
2.10 Сведение уравнения при F00 = 0 к уравнению теплопроводности 94
Список литературы
Классические теории ценообразования опционов базируются на гипотезе совершенного рынка. В рамках этой гипотезы нет затрат на исполнение и участники рынка используют только сложившиеся на рынке цены и не могут своими операциями оказать влияния на цены — ни временно, ни постоянно.
Эти предположения, несмотря на очевидное противоречие рыночной практике, довольно широко используются и результирующие модели дают полезные результаты тогда, когда базовый актив ликвиден и номинал опциона не слишком большой для рынка.
Однако, в случае опционов для неликвидного актива или больших номиналов относительно обычно торгуемого объема на рынке уже нельзя исключать из рассмотрения влияние на рынок и затраты на исполнение.
Интерес к изучению моделей, которые учитывают затраты на исполнение, вызван теми ситуациями, когда цена высокочастотного хеджирования Hnn(high frequency hedging cost) недопустимо возрастает из-за затрат на исполнение, в то время как низкочастотное хеджирование ведет к большим ошибкам или погрешности отслеживания.
Степень разработанности темы исследования
Возможно, одной из первых работ по ценобразованию опционов была диссертация Л. Башелье [12] 1900-го года. Л. Башелье рассчитал цены опционов на акции, предполагая изменение цены базового актива (акции) по законам броуновского движения, и сравнил их с текущими ценами.
В 1965 г. П. Самуэльсон [39] было предложено для описания динамики цены акций использовать так называемое геометрическое (экономическое) броуновское движение.
Геометрическое броуновское движение послужило основой для модели Блэка — Шоулза — Мертона (1973) [15,16,35] и широко известной формулы Блэка — Шоулза.
Ввиду того, что модель Блэка — Шоулза не учитывает затраты на исполнение и влияние сделок участников рынка на текущие цены, исследователями активно изучаются изменения в модели, которые могут их учитывать. Возникло два подхода учета влияния сделок на цены.
Первый подход обычно называется подходом «кривой предложения» (the «supply curve» approach). Он учитывает влияние на цену торгуемого актива операций большого объема или недостаточной ликвидности. Данный подход был разработан и получил дальнейшее развитие в работах Р. Bank и D. Baum (2004) [13] , U. Qetin, R. Jarrow и P. Protter (2004) [22, см. §4], U. Cetin и L. C. Rogers (2007) [23, см. §6].
Второй подход изучает наблюдающиеся на практике ситуации, связанные с влиянием дельта-хеджирования (динамического хеджирования) на динамику базового актива и вытекающим из этого эффектом обратной связи на цену опциона. S. Grossman (1998) [30] написал одну из первых работ по данному направлению. Также изучению этого подхода посвящены работы Е. Platen и М. Schweizer (1998) [37], Р. Schonbucher и Р. Wilmott (2000) [40], R. Sircar и G. Papanicolaou (1998) [41] .
В работе Н. Е. Leland (1985) [32] предложил одну из первых моделей, учитывающих транзакции при определении цены опционов. Модель G. Bar les и Н. М. Soner (1998) [14], учитывающая транзакционные издержки и фактор неприятия риска хеджеров, была получена при использовании асимптотического анализа. В работе J. Cvitanic и I. Karatzas (1996) [25] при помощи мартингального подхода получена формула для расчета минимального первоначального капитала, необходимого для хеджирования произвольного условного требования в модели с непрерывным временем и с учетом пропорциональных транзакционных издержек.
Вдобавок недавно появился подход, учитывающий транзакционные издержки и основанный на «теории оптимального исполнения». При данном подходе Rogers and Singh [38], Т. М. Li and R. Almgren [11] рассматривали затраты на исполнение, не являющиеся линейными относительно исполненного объема, а выпуклыми для учета влияния ликвидности.
Перечисленные модели исследовались многими авторами как численно, так и аналитически. Аналитическое исследование уравнения Блэка — Шоулза методами группового анализа проведено в работе Н.Х. Ибрагимова и Р.К. Газизова (1998) [29]. В работах L.A. Bordag с соавторами [18-21,36], М. М. Дышаева и В. Е. Федорова [3-5,27] и других авторов изучены групповые свойства различных нелинейных моделей типа Блэка — Шоулза, осуществлен поиск их инвариантных решений и подмоделей.
В работе О. Gueant и J. Ри (2015) [31], посвящённой анализу ценообразования опционов с учетом транзакционных издержек и влияния операций на рынок, решается задача продажи кол-опциона банком или трейдером на рынке клиенту со сроком погашения Tпри предположениях:
1. Рассматривается постоянная безрисковая ставка г, параметр абсолютного избегания риска у и волатильность а.
2. Процесс рыночного объема торгов V считается детерминированным, неотрицательным и ограниченным.
3. Торговля ограничена максимальной степенью участия рт и следовательно рассматриваются процессы v из множества допустимых стратегий A, которые имеет ограничение vt
5. Процесс цены моделируется как dSt= pdt+adWt+kvtdt, гре ц — прогноз тренда, ожидаемая доходность базового актива, a kлинейно моделирует
постоянное воздействие на рынок.
6. Для моделирования затрат на исполнения используют непрерывную неотрицательную функции L: R ! R+, которая является четной, возрастающей на R+, L(0) = 0, строго выпуклой и коэрцитивной, т. е. limP!+i Lpp)= +1.
7. Для любого v2 A счет X меняется как dXt= rXtdt — vtStdt — VtL(V)dt.
8. Функция штрафа (Penalty function) L(q,q°) моделирует цену ликвидности при переходе от портфеля с q акциями к портфелю с q'акциями. Ее вид в работе специфицируется как L(q, q') = l(q — q') + 2k(q — q')2,где l — выпуклая и возрастающая функция (возможные варианты ее вида предложены в [31], замечание 4).
При этих условиях поставлена задача оптимального стохастического контроля
supE [- exp(—у(XT+ qrST - n(qr, ST)))] ,v2A
где E — математическое ожидание. Для нее определяют функцию значения и связанное с задачей уравнение Гамильтона — Якоби — Веллмана.
При k = 0 и, следовательно, при отсутствии постоянного воздействия на рынок, получена функция O(t, S,q)которая моделирует цену безразличия кол-опциона, и при помощи введения функции H(p)= sup [pp — L(p)]выведено связанное с в дифференциальное уравнение
Ot = гв + (p - rS)q - pOs - 2a2Oss - 1ya2er(T~t)(ds - q)2 + VtH(Oq).
В данной работе получена групповая классификация этого уравнения при различных спецификациях свободного элемента H.На ее основе для конкретных функций найдены инвариантные решения и подмодели.
Эти предположения, несмотря на очевидное противоречие рыночной практике, довольно широко используются и результирующие модели дают полезные результаты тогда, когда базовый актив ликвиден и номинал опциона не слишком большой для рынка.
Однако, в случае опционов для неликвидного актива или больших номиналов относительно обычно торгуемого объема на рынке уже нельзя исключать из рассмотрения влияние на рынок и затраты на исполнение.
Интерес к изучению моделей, которые учитывают затраты на исполнение, вызван теми ситуациями, когда цена высокочастотного хеджирования Hnn(high frequency hedging cost) недопустимо возрастает из-за затрат на исполнение, в то время как низкочастотное хеджирование ведет к большим ошибкам или погрешности отслеживания.
Степень разработанности темы исследования
Возможно, одной из первых работ по ценобразованию опционов была диссертация Л. Башелье [12] 1900-го года. Л. Башелье рассчитал цены опционов на акции, предполагая изменение цены базового актива (акции) по законам броуновского движения, и сравнил их с текущими ценами.
В 1965 г. П. Самуэльсон [39] было предложено для описания динамики цены акций использовать так называемое геометрическое (экономическое) броуновское движение.
Геометрическое броуновское движение послужило основой для модели Блэка — Шоулза — Мертона (1973) [15,16,35] и широко известной формулы Блэка — Шоулза.
Ввиду того, что модель Блэка — Шоулза не учитывает затраты на исполнение и влияние сделок участников рынка на текущие цены, исследователями активно изучаются изменения в модели, которые могут их учитывать. Возникло два подхода учета влияния сделок на цены.
Первый подход обычно называется подходом «кривой предложения» (the «supply curve» approach). Он учитывает влияние на цену торгуемого актива операций большого объема или недостаточной ликвидности. Данный подход был разработан и получил дальнейшее развитие в работах Р. Bank и D. Baum (2004) [13] , U. Qetin, R. Jarrow и P. Protter (2004) [22, см. §4], U. Cetin и L. C. Rogers (2007) [23, см. §6].
Второй подход изучает наблюдающиеся на практике ситуации, связанные с влиянием дельта-хеджирования (динамического хеджирования) на динамику базового актива и вытекающим из этого эффектом обратной связи на цену опциона. S. Grossman (1998) [30] написал одну из первых работ по данному направлению. Также изучению этого подхода посвящены работы Е. Platen и М. Schweizer (1998) [37], Р. Schonbucher и Р. Wilmott (2000) [40], R. Sircar и G. Papanicolaou (1998) [41] .
В работе Н. Е. Leland (1985) [32] предложил одну из первых моделей, учитывающих транзакции при определении цены опционов. Модель G. Bar les и Н. М. Soner (1998) [14], учитывающая транзакционные издержки и фактор неприятия риска хеджеров, была получена при использовании асимптотического анализа. В работе J. Cvitanic и I. Karatzas (1996) [25] при помощи мартингального подхода получена формула для расчета минимального первоначального капитала, необходимого для хеджирования произвольного условного требования в модели с непрерывным временем и с учетом пропорциональных транзакционных издержек.
Вдобавок недавно появился подход, учитывающий транзакционные издержки и основанный на «теории оптимального исполнения». При данном подходе Rogers and Singh [38], Т. М. Li and R. Almgren [11] рассматривали затраты на исполнение, не являющиеся линейными относительно исполненного объема, а выпуклыми для учета влияния ликвидности.
Перечисленные модели исследовались многими авторами как численно, так и аналитически. Аналитическое исследование уравнения Блэка — Шоулза методами группового анализа проведено в работе Н.Х. Ибрагимова и Р.К. Газизова (1998) [29]. В работах L.A. Bordag с соавторами [18-21,36], М. М. Дышаева и В. Е. Федорова [3-5,27] и других авторов изучены групповые свойства различных нелинейных моделей типа Блэка — Шоулза, осуществлен поиск их инвариантных решений и подмоделей.
В работе О. Gueant и J. Ри (2015) [31], посвящённой анализу ценообразования опционов с учетом транзакционных издержек и влияния операций на рынок, решается задача продажи кол-опциона банком или трейдером на рынке клиенту со сроком погашения Tпри предположениях:
1. Рассматривается постоянная безрисковая ставка г, параметр абсолютного избегания риска у и волатильность а.
2. Процесс рыночного объема торгов V считается детерминированным, неотрицательным и ограниченным.
3. Торговля ограничена максимальной степенью участия рт и следовательно рассматриваются процессы v из множества допустимых стратегий A, которые имеет ограничение vt
5. Процесс цены моделируется как dSt= pdt+adWt+kvtdt, гре ц — прогноз тренда, ожидаемая доходность базового актива, a kлинейно моделирует
постоянное воздействие на рынок.
6. Для моделирования затрат на исполнения используют непрерывную неотрицательную функции L: R ! R+, которая является четной, возрастающей на R+, L(0) = 0, строго выпуклой и коэрцитивной, т. е. limP!+i Lpp)= +1.
7. Для любого v2 A счет X меняется как dXt= rXtdt — vtStdt — VtL(V)dt.
8. Функция штрафа (Penalty function) L(q,q°) моделирует цену ликвидности при переходе от портфеля с q акциями к портфелю с q'акциями. Ее вид в работе специфицируется как L(q, q') = l(q — q') + 2k(q — q')2,где l — выпуклая и возрастающая функция (возможные варианты ее вида предложены в [31], замечание 4).
При этих условиях поставлена задача оптимального стохастического контроля
supE [- exp(—у(XT+ qrST - n(qr, ST)))] ,v2A
где E — математическое ожидание. Для нее определяют функцию значения и связанное с задачей уравнение Гамильтона — Якоби — Веллмана.
При k = 0 и, следовательно, при отсутствии постоянного воздействия на рынок, получена функция O(t, S,q)которая моделирует цену безразличия кол-опциона, и при помощи введения функции H(p)= sup [pp — L(p)]выведено связанное с в дифференциальное уравнение
Ot = гв + (p - rS)q - pOs - 2a2Oss - 1ya2er(T~t)(ds - q)2 + VtH(Oq).
В данной работе получена групповая классификация этого уравнения при различных спецификациях свободного элемента H.На ее основе для конкретных функций найдены инвариантные решения и подмодели.