Список обозначений
Предметный указатель 5
Введение 7
Глава 1. Конструкция модели 9
Глава 2. Критическая поверхность 15
Глава 3. Анализ критической поверхности 18
Глава 4. Исследование критической кривой в предельных случаях 27
Заключение 30
Литература 32
При теоретическом изучении различных явлений в естественных науках возникают математические модели, которые связаны со стохастическими динамическими системами. Их формулировка и исследование основано на понятии стохастического дифференциального уравнения и привлечения общей теории таких уравнений. Одной из таких стохастических моделей является т.н. генетическая модель, введенная в [1] как иллюстрирующая эволюцию со временем в некоторых биологических процессах. В работе [2] было предложено применение этой модели для описания кинетики бинарных циклических химических реакций при наличии катализаторов (см. также [3], где дан более детальный вывод уравнений модели на основе химической кинетики). Там же был дан анализ стационарного решения модели в частном симметричном случае, результаты которого приведены в монографии [4]. В этой же монографии была проанализирована связь между моделью авторов и моделью работы [1].
В динамике, описываемой генетической моделью, проявляется так называемый индуцированный шумом фазовый переход при изменении ее свободных параметров. Он, с математической точки зрения, представляет собой бифуркационную перестройку стационарной плотности распределения случайной величины x(t) - значения в момент времени tслучайного процесса, который определяется моделью. Причем, такая перестройка отсутствует в детерминированном пределе модели при равной нулю интенсивности шума - параметра, характеризующего влияние стохастического слагаемого в соответствующем стохастическом дифференциальном уравнении. Именно это обусловило интерес к исследованию генетической модели. Дополнительным обстоятельством привлекающем внимание к изучению этой модели является экспериментальное подтверждение наличия указанного фазового перехода [6].
Бифуркация, свойственная генетической модели представляет собой частный случай фазовых переходов под воздействием шума, начало интенсивному математическому исследованию которых было положено в 70-х годах прошлого столетия, и до настоящего времени эта тематика исследований представляет интерес [7], как с точки зрения математической физики, так и с точки зрения приложения результатов этих исследований к конкретным физическим ситуациям. Следует отметить, что успехи в исследовании фазовых переходов под воздействием шума, в основном, связаны с изучением одномерных динамических систем.
Математическое исследование генетической модели давалось в работах ее основоположников в различные годы (см., например, их обзоры [8-10] и второе изд. уже цитированной монографии [11]). Однако, в их работах не было дано полного аналитического исследования стационарного состояния генетической модели. При исследовании стационарных состояний для наборов значений параметров модели в общем положении в этих работах авторы переходили к численной симуляции.
В настоящей работе мы приводим результаты полного исследования стационарного состояния генетической модели при всех допустимых значениях ее параметров, предварительно опубликованные в [3, 12-14]. В следующем разделе, мы кратко приводим конструкцию модели Хорстхемке- Лефевера и необходимые для дальнейшего изложения, связанные с ней результаты. В разд. 3 ставится задача вычисления критической поверхности в пространстве параметров. В 4-м разд, приводятся полное аналитическое исследование критической поверхности. В 5-м разделе критическая поверхность исследуется вблизи граничных значений параметра а = 0 и 1, в которых она теряет смысл.
Проведен полный, в отличие от работ других авторов, анализ критической поверхности Б модели Хорстхемке-Лефевра, разбивающей ее пространство параметров (А, а2> 0, а Е (0,1)) на две области, в каждой из которых она имеет два качественно различных стационарных динамических режима. Переход между этими двумя режимами при достаточно медленным (квазистатическом) изменении параметров системы представляет, с физической точки зрения, фазовый переход между двумя «фазами»: унимодальной и бимодальной. Динамический режим в бимодальной фазе состоит из последовательно сменяющих друг друга временных интервалов случайной длительности, в которых относительная концентрация реагентов флуктуирует вблизи значения одного из двух максимумов плотности p(x).
Рассматривая бифуркационную перестройку динамического режима системы как термодинамический фазовый переход, для его количественной характеризации нужно ввести параметр порядка. В качестве такового, по- видимому, нужно выбрать половину расстояния между концентрациями, соответствующими двум модам плотности распределения p(x).Проклассифицируем фазовые переходы в рассмотренной системе, приняв за основу их разделение на два типа согласно следующему признаку: появляется ли в результате перехода отличное от нуля значение параметра порядка скачкообразно (переход 1-го рода) или непрерывно (переход 2-го рода). Тогда, p(x)не более чем двукратного корня уравнения dp(x)/dx = 0, то второй максимум плотности возникает отдельно от уже существующего у нее максимума. Поэтому расстояние между этими максимумами не равно нулю в момент перехода и можно говорить о переходе первого рода. С аналитической точки зрения переход реализуется в виде катастрофы складки, согласно классификации Тома. Если же перестройка плотности происходит так, что уравнение dp(x)/dx = 0 имеет трехкратный корень, то из исчезающего максимума рождается сразу два новых максимума. Поэтому, в этом случае, параметр порядка непрерывным образом начинает возрастать начиная с нулевого значения и нужно говорить о фазовом переходе второго рода. В соответствии с проделанным анализом модели, второй случай реализуется в точке каспа критической кривой, которая находится на эллипсе А = 0. При этом мода, в которой происходит бифуркация, расположена в точке х0 = 1/2 — А/3а2. Согласно классификации Тома этот переход происходит в результате катастрофы сборки. Применимость такой классификации связана с тем, что p(x) аналитически зависит от параметров А и а2. Если положить, что роль температуры в рассматриваемой системе выполняет интенсивность шума а2, то критический индекс параметра порядка в точ- 1/2
для катастрофы сборки:
(а2—а2}(+ 1(x — xДД'Чх ) = 0(X —x)~ (а2— а2)1/2
аа *)у да2 / +2(x0 x*) p x*)u ,(x0x*)а а*) .
Вместе с тем, нужно отметить, что фазовый переход 1-го рода в системе происходит без дополнительных затрат теплоты на образование новой фазы, если в качестве термодинамической энтропии Sсистемы выбрать энтропию Шеннона J0 p(x) ln p(x)dx,которая изменяется непрерывно с изменением параметров системы. Тогда термодинамическая связь 3Q = T3S указывает на отсутствие теплового скачка при переходе из унимодальной фазы в бимодальную.
