СТАТИСТИЧЕСКИЙ ПОДХОД ПРИ ОПРЕДЕЛЕНИИ ПРЕДЕЛА ТЕКУЧЕСТИ ТВЕРДОТЕЛЬНЫХ ПОРИСТЫХ МАТЕРИАЛОВ
|
Правила использования обозначений 4
Предметный список обозначений 5
Введение 6
Глава 1. Основы статистической теории процессов деградации материалов 10
1.1. Основы статистической теории процессов деградации материалов 10
1.2. Описание явления разрушения в механике сплошных сред 15
1.3. Микроскопические механизмы зарождения трещин 17
1.4. Статистический подход к описанию хрупкого разрушения 24
1.5. Статистические теории без учета дефектной структуры 25
1.6. Статистические теории, основанные на образовании дефектов 29
Глава 2. Статистическая модель хрупкого разрушения 33
2.1. Распределение вероятностей ансамбля пор 33
2.2. Пуассоновские среды 35
2.3. Конструкция модели и постановка задачи 38
2.4. Дискретная статистическая модель.
Асимптотическая формула для вероятности разрушения 44
Глава 3. Масштабный эффект 48
Заключение
Литература
Предметный список обозначений 5
Введение 6
Глава 1. Основы статистической теории процессов деградации материалов 10
1.1. Основы статистической теории процессов деградации материалов 10
1.2. Описание явления разрушения в механике сплошных сред 15
1.3. Микроскопические механизмы зарождения трещин 17
1.4. Статистический подход к описанию хрупкого разрушения 24
1.5. Статистические теории без учета дефектной структуры 25
1.6. Статистические теории, основанные на образовании дефектов 29
Глава 2. Статистическая модель хрупкого разрушения 33
2.1. Распределение вероятностей ансамбля пор 33
2.2. Пуассоновские среды 35
2.3. Конструкция модели и постановка задачи 38
2.4. Дискретная статистическая модель.
Асимптотическая формула для вероятности разрушения 44
Глава 3. Масштабный эффект 48
Заключение
Литература
Настоящая работа посвящена конструированию статистической теоретической модели, предназначенной для описания равновесного состояния образца хрупкого твердотельного материала, находящегося под внешней растягивающей его нагрузкой. По нашему замыслу, эта модель может быть использована для теоретических предсказаний относительно характера поведения твердотельного образца в результате возникновения в нем (в общем случае неупругих) деформаций вследствие силовых напряжений без учета тепловых процессов. В частности, она предназначена для установления связи между характеристиками состояния самой среды и той величиной нагрузки, которая может привести к разрушению образца, под которым понимается его разрыв.
Модель строится, с одной стороны, на основе феноменологических представлений о механизмах зарождения и роста микротрещин в твердотельной среде хрупкого материала, а, с другой стороны, так как физический механизм зарождения и роста трещины реализуется на пространственных масштабах порядка 10 V 100нм, на которых уже проявляются флуктуации усредненных термодинамических характеристик среды, она в своей конструкции использует статистические (вероятностные) представления.
Таким образом, в работе строится и изучается вероятностно-феноменологическая модель разрушения хрупкого материала.
Построение модели основано на предположении о том, что к разрыву образца, который может произойти катастрофическим образом в течение очень короткого промежутка времени, приводит спонтанное лавинное разростание, под воздействием внешней растягивающей механической нагрузки продольно вдоль некоторого фиксированного направления, какой-либо из микротрещин в образце, появившихся в нем флуктуационным образом.
Лавинное разростание трещины начинается в тот момент, когда длина этой трещины превзойдет некоторую критическую величину.
В свою очередь, флуктуационное возникновение такой достаточно большой трещины мы связываем с наличием в образце хрупкого материала точечных дефектов в виде пор очень малого размера. Эти поры всегда присутствуют в образце твердотельного хрупкого материала с той или иной величиной средней концентрации с, которая зависит как от физической природы материала, так и от технологии приготовления образца. В нашей модели величина с является свободным феноменологическим параметром. Флуктуации концентрации (их отклонения от среднего значения) возникают вследствие того, что поры распределены в образце случайным образом. Такого рода случайность их расположения связана с тем, что, в процессе приготовления образца, технологически, можно управлять только лишь их концентрацией с, которая, в течение этого процесса, автоматически усредняется по пространственным областям А с некоторыми макроскопическими линейными размерами. Размеры же этих областей А, доступные технологической регулировке, намного больше, чем размеры dтех микротрещин, рост которых, в конце концов, может привести к старению материала и его разрушению под внешней нагрузкой. Поэтому возможно довольно значительные флуктуации концентрации пор на пространственных масштабах порядка d. Тогда, при наличии достаточно большой концентрации пор, т.е. их скопления, в какой-либо из пространственных областей А, под действием растягивающих напряжений в области А, которые возникают вследствие нагрузки, прикладываемой к границе образца, может произойти слияние большого числа пор, находящихся в этой области. При таком слиянии пор образуется микротрещина, длина которой может превзойти ту критическую величину, начиная с которой, происходит ее лавинный рост. В результате такого быстрого роста трещины в хрупком материале, находящемся под внешней нагрузкой, образуется макротрещина, и, наконец, когда линейный размер макротрещины достигает величины, сравнимой с линейным размером самого образца, происходит его разрыв.
Таким образом, критическому размеру микротрещины соответствует критическая величина флуктуации концентрации. С одной стороны ясно, что величина флуктуации концентрации пор тесно связана с величиной самой концентрации, то есть образование микротрещины критического размера есть следствие достаточно большой концентрации пор во всем образце. С другой стороны, ясно, что критический размер микротрещины и, как следствие, критическая величина флуктуации концентрации пор зависят от величины внешней одноосной нагрузки. Если такая зависимость известна, то можно найти теоретическую связь между концентрацией и пределом прочности материала - критической величиной внешней нагрузки, которая приводит к разрушению образца. Таким образом, должна существовать связь между концентрацией пор с* и критическим механическим напряжением (пределом разрывной прочности) материала, который мы в дальнейшем обозначаем посредством p*.Следовательно, теоретическая модель, которая претендует на предсказание количественных характеристик явления хрупкого разрушения материала должна устанавливать вид такой зависимости. В принимаемом в этой работе нами подходе, строится именно такая теоретическая модель.
Так как распределение пор по образцу материала является случайным, то математическое моделирование явления хрупкого разрушения, понимаемое как следствие случайного скопления пор, должно осуществляться на основе теоретико-вероятностных представлений и изучаться методами теории вероятностей. Поэтому тему настоящей работы можно отнести к направлению в статистической физике, который занимается изучением структуры «реального» твердого тела. Отличительной особенностью этого направления является то, что при решении задач, решаемых в рамках этого направления, приходится отказываться от микроскопических представлений статистической механики, например, о характере взаимодействия между отдельными парами молекул, а, наоборот, использовать некоторые феноменологическими зависимостями между физическими величинами, которые являются характеристиками твердотельной структуры на пространственных масштабах, намного превосходящих средние расстояния между молекулами среды, но намного меньшими, чем макроскопические размеры. Здесь под макроскопическими размерами мы понимаем, такие пространственные масштабы, при которых в соответствующих этим масштабам объемах среды с большой точностью применимы термодинамические представления. Для построения модели, о которой идет речь в настоящей работе, необходимо располагать какой-либо феноменологическим законом связи между критическим размером трещины, которая служит зародышем разрыва образца, и внешним механическим напряжением. Для этого мы используем закон, устанавливающий указанную связь, который дается в рамках известной теории Гриффитса [1], [2], которая феноменологически описывает зарождение и рост трещин в твердом теле. Именно использование такого рода феноменологической зависимости позволяет классифицировать предлагаемую в настоящей работе теорию, как относящуюся к статистической физике реального твердого тела.
Главным следствием устанавливаемой в работе зависимости между концентрацией пор и пределом прочности является предсказание количественной зависимости между линейным размером образца и пределом прочности. Наличие такой зависимости называется в материаловедении объемным эффектом) [3]. Наличие такого эффекта связано с тем, что увеличение размеров образца приводит к увеличению вероятности появления флуктуации обладающей величиной, большей критической, в какой-то из малых областей внутри образца материала, т.е. к увеличению вероятности преодоления предела прочности локально в этой малой пространственной области.
Модель строится, с одной стороны, на основе феноменологических представлений о механизмах зарождения и роста микротрещин в твердотельной среде хрупкого материала, а, с другой стороны, так как физический механизм зарождения и роста трещины реализуется на пространственных масштабах порядка 10 V 100нм, на которых уже проявляются флуктуации усредненных термодинамических характеристик среды, она в своей конструкции использует статистические (вероятностные) представления.
Таким образом, в работе строится и изучается вероятностно-феноменологическая модель разрушения хрупкого материала.
Построение модели основано на предположении о том, что к разрыву образца, который может произойти катастрофическим образом в течение очень короткого промежутка времени, приводит спонтанное лавинное разростание, под воздействием внешней растягивающей механической нагрузки продольно вдоль некоторого фиксированного направления, какой-либо из микротрещин в образце, появившихся в нем флуктуационным образом.
Лавинное разростание трещины начинается в тот момент, когда длина этой трещины превзойдет некоторую критическую величину.
В свою очередь, флуктуационное возникновение такой достаточно большой трещины мы связываем с наличием в образце хрупкого материала точечных дефектов в виде пор очень малого размера. Эти поры всегда присутствуют в образце твердотельного хрупкого материала с той или иной величиной средней концентрации с, которая зависит как от физической природы материала, так и от технологии приготовления образца. В нашей модели величина с является свободным феноменологическим параметром. Флуктуации концентрации (их отклонения от среднего значения) возникают вследствие того, что поры распределены в образце случайным образом. Такого рода случайность их расположения связана с тем, что, в процессе приготовления образца, технологически, можно управлять только лишь их концентрацией с, которая, в течение этого процесса, автоматически усредняется по пространственным областям А с некоторыми макроскопическими линейными размерами. Размеры же этих областей А, доступные технологической регулировке, намного больше, чем размеры dтех микротрещин, рост которых, в конце концов, может привести к старению материала и его разрушению под внешней нагрузкой. Поэтому возможно довольно значительные флуктуации концентрации пор на пространственных масштабах порядка d. Тогда, при наличии достаточно большой концентрации пор, т.е. их скопления, в какой-либо из пространственных областей А, под действием растягивающих напряжений в области А, которые возникают вследствие нагрузки, прикладываемой к границе образца, может произойти слияние большого числа пор, находящихся в этой области. При таком слиянии пор образуется микротрещина, длина которой может превзойти ту критическую величину, начиная с которой, происходит ее лавинный рост. В результате такого быстрого роста трещины в хрупком материале, находящемся под внешней нагрузкой, образуется макротрещина, и, наконец, когда линейный размер макротрещины достигает величины, сравнимой с линейным размером самого образца, происходит его разрыв.
Таким образом, критическому размеру микротрещины соответствует критическая величина флуктуации концентрации. С одной стороны ясно, что величина флуктуации концентрации пор тесно связана с величиной самой концентрации, то есть образование микротрещины критического размера есть следствие достаточно большой концентрации пор во всем образце. С другой стороны, ясно, что критический размер микротрещины и, как следствие, критическая величина флуктуации концентрации пор зависят от величины внешней одноосной нагрузки. Если такая зависимость известна, то можно найти теоретическую связь между концентрацией и пределом прочности материала - критической величиной внешней нагрузки, которая приводит к разрушению образца. Таким образом, должна существовать связь между концентрацией пор с* и критическим механическим напряжением (пределом разрывной прочности) материала, который мы в дальнейшем обозначаем посредством p*.Следовательно, теоретическая модель, которая претендует на предсказание количественных характеристик явления хрупкого разрушения материала должна устанавливать вид такой зависимости. В принимаемом в этой работе нами подходе, строится именно такая теоретическая модель.
Так как распределение пор по образцу материала является случайным, то математическое моделирование явления хрупкого разрушения, понимаемое как следствие случайного скопления пор, должно осуществляться на основе теоретико-вероятностных представлений и изучаться методами теории вероятностей. Поэтому тему настоящей работы можно отнести к направлению в статистической физике, который занимается изучением структуры «реального» твердого тела. Отличительной особенностью этого направления является то, что при решении задач, решаемых в рамках этого направления, приходится отказываться от микроскопических представлений статистической механики, например, о характере взаимодействия между отдельными парами молекул, а, наоборот, использовать некоторые феноменологическими зависимостями между физическими величинами, которые являются характеристиками твердотельной структуры на пространственных масштабах, намного превосходящих средние расстояния между молекулами среды, но намного меньшими, чем макроскопические размеры. Здесь под макроскопическими размерами мы понимаем, такие пространственные масштабы, при которых в соответствующих этим масштабам объемах среды с большой точностью применимы термодинамические представления. Для построения модели, о которой идет речь в настоящей работе, необходимо располагать какой-либо феноменологическим законом связи между критическим размером трещины, которая служит зародышем разрыва образца, и внешним механическим напряжением. Для этого мы используем закон, устанавливающий указанную связь, который дается в рамках известной теории Гриффитса [1], [2], которая феноменологически описывает зарождение и рост трещин в твердом теле. Именно использование такого рода феноменологической зависимости позволяет классифицировать предлагаемую в настоящей работе теорию, как относящуюся к статистической физике реального твердого тела.
Главным следствием устанавливаемой в работе зависимости между концентрацией пор и пределом прочности является предсказание количественной зависимости между линейным размером образца и пределом прочности. Наличие такой зависимости называется в материаловедении объемным эффектом) [3]. Наличие такого эффекта связано с тем, что увеличение размеров образца приводит к увеличению вероятности появления флуктуации обладающей величиной, большей критической, в какой-то из малых областей внутри образца материала, т.е. к увеличению вероятности преодоления предела прочности локально в этой малой пространственной области.
В результате проведенного теоретического исследования построена про-стая теоретическая статистическая модель, описывающая явление хрупкого разрушения материала по воздействием на него внешней нагрузки. В этой модели образование микротрещины критического размера проявляется как следствие наличия в образце достаточно большой флуктуации концентрации пор. Так как величина средней квадратичной флуктуации концентрации пор внутри образца материала связана с величиной самой концентрации, то, в результате, имеется зависимость между концентрацией пор и критическим механическим напряжением (пределом разрывной прочности) материала р*. Построенная нами модель претендует на предсказание количественных характеристик хрупкого разрушения материала, так как она устанавливает вид указанной зависимости. На основе найденной формулы связи между концентрацией пор и пределом прочности материала, в частности, устанавливается зависимость между пределом прочности и размером образца. Наличие такой зависимости называется в материаловедении масштабным эффектом, который, качественно, связан с тем, что увеличение размеров образца приводит к увеличению вероятности появления в какой-то из малых областей внутри него достаточно большой флуктуации, величина которой превосходит критическую величину, начиная с которой происходит разростание трещины при воздействии на образец материала внешней растягивающей нагрузки, т.е. к увеличению вероятности преодоления локально в этой области внутри материала предела его прочности. Последнее, в конце концов, приводит к зарождению макроскопической трещины с последующим ее разрастанием и разрывом образца.