АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ЧИСЛА РЕШЕНИЙ НЕКОТОРЫХ ДИОФАНТОВЫХ УРАВНЕНИЙ
|
ВВЕДЕНИЕ 3
Глава 1. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ УТВЕРЖДЕНИЯ 9
Глава 2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 1 12
Глава 3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМ 2—4 14
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
Глава 1. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ УТВЕРЖДЕНИЯ 9
Глава 2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 1 12
Глава 3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМ 2—4 14
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
Вопрос о целочисленных решениях уравнений различного вида восходит к древности. Простейшим уравнением является неопределенное уравнение первой степени с двумя неизвестными x и y ax + by = c, где a,b и c — целые числа, причем a и b взаимно просты. Все решения такого уравнения в целых числах можно найти с помощью алгоритма Евклида. Некоторые неопределенные уравнения первой степени появились в связи с проблемами астрономии, например, при рассмотрении вопросов периодического повторения небесных явлений. Их решение начали рассматривать еще индусские математики примерно с V века. Позднее благодаря Гауссу неопределенные уравнения первой степени стали записывать и решать в форме сравнения. Систематизация проблем теории неопределенных уравнений второй степени и методов их решения проведена Диофантом (III в.). Большая часть дошедших до нас книг его «Арифметики» посвящена решению этих уравнений в рациональных положительных числах [1]. Сочинения Диофанта сыграли большую роль в дальнейшем развитии той части теории чисел, которая занимается решением уравнений в целых числах, называемых теперь диофантовыми уравнениями.
Неопределенное уравнение Ферма x2−ny2 = 1, где n — целое положительное число, не являющееся точным квадратом, имеет большое значение во всей теории диофантовых уравнений. Это уравнение часто называют уравнением Пелля. Под таким названием оно фигурирует в трудах Леонарда Эйлера, но Джон Пелль (XVII в.) этим уравнением не занимался [2]. Частный случай уравнения Пелля x2 − 2y2 = 1 изучался еще пифагорейцами в связи с вычислением приближения к √2. Доказательством того, что уравнение Пелля имеет бесконечное множество решений при любом целом положительном n, отличном от полного квадрата, занимались Ферма, Броункер, Валлис, Эйлер, Лагранж.
В 1770 г. Ж. Лагранж доказал, что каждое натуральное число есть сумма не более четырех квадратов натуральных чисел (задача Лагранжа). До него Ферма, Эйлер и другие математики изучали квадратичные формы частного вида, Лагранж заложил основы общей теории [3]. Он установил основную связь между вопросом о представимости чисел квадратичной формой и существованием решений соответствующего сравнения второй степени.
К. Ф. Гаусс, а затем Л. Дирихле, продолжая исследования Эйлера, создали теорию представления натуральных чисел квадратичными формами. Гаусс ввел так называемые суммы Гаусса S(q, a, b) = ∑ 16j6q e2πi(aj2+bj)=q, которые явились первыми примерами тригонометрических сумм, и показал их полезность в решении задач теории чисел.
В 1926 г. Х. Клоостерман рассмотрел обобщение задачи Лагранжа. Он нашел асимптотическую формулу для количества представлений целого положительного числа диагональной квадратичной формой с четырьмя целыми переменными (задача Клоостермана) [4]. Число решений задачи представляется в виде интеграла. Идея Клоостермана состоит в том, что промежуток интегрирования он разбивал на дуги посредством дробей Фарея. Далее Клоостерман оценивал тригонометрические суммы специального вида K(q, a, b) = ∑ 16j6q (j;q)=1 e2πi(aj+bj)=q, названные позднее суммами Клоостермана.
В настоящей работе рассматриваются асимптотические формулы для числа решений некоторых диофантовых уравнений.
Объектом исследования являются диофантовы уравнения.
Предмет исследования — асимптотические формулы числа решений диофантовых уравнений.
Цель работы заключается в изучении асимптотических формул для числа решений диофантовых уравнений второй степени.
Задачи работы. В соответствии с целью выделим следующие задачи:
1. Получить асимптотическую формулу для числа решений уравнения Пелля с весами, отвечающими за ограничения на переменные x, y ∑x2−ny2=1e−x2+y2N.
2. Изучить поведение особого ряда в асимптотической формуле задачи Клоостермана. Выделить случаи, когда уравнение n = ax2 + by2 + cz2 + dt2, где a, b, c, d, n —положительные целые, не имеет решения.
Актуальность работы следует из того, что решение выше перечисленных задач с квадратичными формами вносят новый вклад в теорию чисел.
В работе применяются методы исследования элементарной теории чисел и математического анализа.
Все результаты, изложенные в работе, являются новыми.
Работа носит теоретический характер. Ее результаты и методы могут быть использованы в дальнейших исследованиях, посвященных аддитивным задачам, а также при разработке специальных курсов по теории чисел.
Достоверность результатов, полученных в диссертационной работе, определяется обоснованными теоретическими выкладками и строгими доказательствами, опирающимися на методы элементарной теории чисел и математического анализа.
Апробация результатов. Основные результаты работы были представлены на Международной научной конференции «Актуальные проблемы прикладной математики и физики», Нальчик, 2017 г. По материалам работы подготовлены 2 статьи, тезисы доклада.
Первая глава диссертации содержит сведения из теории чисел, необходимые при дальнейшем изложении. Основные результаты научной работы сформулированы во 2 и 3 главах.
Во второй главе получена асимптотическая формула для числа решений уравнения Пелля с весами, отвечающими за ограничения на переменные x, y I(n, N) = ∑x2−ny2=1e−x2+y2N.
Доказана следующая теорема.
Теорема 1. Пусть N — натуральное число. Справедлива асимптотическая формула
I(n, N) = e−N1 (√πN√n + 1 + O(e− ln2 N)).
В третьей главе изучено поведение особого ряда асимптотической формулы в проблеме Клоостермана.
В работе [4] Х. Д. Клоостерман получил асимптотическую формулу для числа представлений положительного целого числа линейной комбинацией четырех квадратов с весами. Клоостерман привел примеры отдельных случаев, когда число представлений равно нулю. Случаи для простого p, равного двум, рассмотрены Клоостерманом более подробно, чем для нечетного простого p.
Применение точных формул для сумм Гаусса ([5]—[8]) позволило дополнить случаи [4] для нечетного простого p, при которых уравнение n = ax2 + by2 + cz2 + dt2 не имеет решений.
Результаты исследования приведены в следующих теоремах.
Пусть p — нечетное простое число, a, b, c, d, n —положительные целые.
6Теорема 2. Уравнение n = ax2 + by2 + cz2 + dt2 не имеет решения в случаях:
1. если n и p взаимно просты, коэффициенты a, b, c, d делятся на p;
2. если n и p взаимно просты, три коэффициента квадратичной формы
ax2 + by2 + cz2 + dt2 делятся на p, произведение четвертого коэффициента
и n является квадратичным невычетом по модулю p.
Теорема 3. Пусть
a = pα1a1, (a1, p) = 1, b = pβ1b1, (b1, p) = 1, (c, p) = 1, (d, p) = 1,
n = pη1n1, (n1, p) = 1.
Уравнение n = ax2 + by2 + cz2 + dt2 не имеет решения в случаях:
1. если η1 < α1 ≤ β1, η1 – нечетное число, (−cdp) = −1;
2. если η1 = α1 < β1, η1 – нечетное число, (a1n1p) = −1, (−cdp) = −1;
3. если α1 < η1 < β1, α1, η1 – нечетные числа, (a1n1p) = −1, (−cdp) = −1.
В работе Клоостермана [4] утверждение теоремы 2 доказывается с помощью теории сравнений. Случаи 1 и 2 теоремы 3 приводятся в [4] без доказательства, случай 3 теоремы 3 является новым и не рассматривался ранее.
Теорема 4. Пусть
a = pα1a1, (a1, p) = 1, b = pβ1b1, (b1, p) = 1, c = pγ1c1, (c1, p) = 1, (d, p) = 1,
n = pη1n1, (n1, p) = 1.
Уравнение n = ax2 + by2 + cz2 + dt2 не имеет решения в случаях:
1. если η1 < α1 ≤ β1 ≤ γ1 и η1 – нечетное число;
2. если η1 < α1 ≤ β1 ≤ γ1, η1 – четное число и (dn1p) = −1;
3. если η1 = α1 < β1 ≤ γ1, η1 – нечетное число и (a1n1p) = −1;
74. если α1 < η1 < β1 ≤ γ1, η1 – нечетное число, α1 – четное число и (−a1dp) = −1;
5. если α1 < η1 < β1 ≤ γ1, α1 – нечетное число и ( dpη1+1)(paη11 )(np1) = −1;
6. если α1 < η1 = β1 < γ1, η1 – нечетное число, α1 – четное число и (−a1dp) = −1, (b1n1p) = −1;
7. если α1 ≤ β1 < η1 < γ1, η1 – четное число, α1 – нечетное число, β1 –
нечетное число и (−a1b1p) = −1, (dn1p) = −1;
8. если α1 ≤ β1 < η1 < γ1, η1 – нечетное число, α1 – нечетное число, β1 –
четное число и (−b1dp) = −1, (a1n1p) = −1;
9. если α1 ≤ β1 < η1 < γ1, η1 – нечетное число, α1 – четное число, β1 –
нечетное число и (−a1dp) = −1, (b1n1p) = −1.
Результаты теоремы 4 являются новыми и не исследовались в работе Клоостермана
Неопределенное уравнение Ферма x2−ny2 = 1, где n — целое положительное число, не являющееся точным квадратом, имеет большое значение во всей теории диофантовых уравнений. Это уравнение часто называют уравнением Пелля. Под таким названием оно фигурирует в трудах Леонарда Эйлера, но Джон Пелль (XVII в.) этим уравнением не занимался [2]. Частный случай уравнения Пелля x2 − 2y2 = 1 изучался еще пифагорейцами в связи с вычислением приближения к √2. Доказательством того, что уравнение Пелля имеет бесконечное множество решений при любом целом положительном n, отличном от полного квадрата, занимались Ферма, Броункер, Валлис, Эйлер, Лагранж.
В 1770 г. Ж. Лагранж доказал, что каждое натуральное число есть сумма не более четырех квадратов натуральных чисел (задача Лагранжа). До него Ферма, Эйлер и другие математики изучали квадратичные формы частного вида, Лагранж заложил основы общей теории [3]. Он установил основную связь между вопросом о представимости чисел квадратичной формой и существованием решений соответствующего сравнения второй степени.
К. Ф. Гаусс, а затем Л. Дирихле, продолжая исследования Эйлера, создали теорию представления натуральных чисел квадратичными формами. Гаусс ввел так называемые суммы Гаусса S(q, a, b) = ∑ 16j6q e2πi(aj2+bj)=q, которые явились первыми примерами тригонометрических сумм, и показал их полезность в решении задач теории чисел.
В 1926 г. Х. Клоостерман рассмотрел обобщение задачи Лагранжа. Он нашел асимптотическую формулу для количества представлений целого положительного числа диагональной квадратичной формой с четырьмя целыми переменными (задача Клоостермана) [4]. Число решений задачи представляется в виде интеграла. Идея Клоостермана состоит в том, что промежуток интегрирования он разбивал на дуги посредством дробей Фарея. Далее Клоостерман оценивал тригонометрические суммы специального вида K(q, a, b) = ∑ 16j6q (j;q)=1 e2πi(aj+bj)=q, названные позднее суммами Клоостермана.
В настоящей работе рассматриваются асимптотические формулы для числа решений некоторых диофантовых уравнений.
Объектом исследования являются диофантовы уравнения.
Предмет исследования — асимптотические формулы числа решений диофантовых уравнений.
Цель работы заключается в изучении асимптотических формул для числа решений диофантовых уравнений второй степени.
Задачи работы. В соответствии с целью выделим следующие задачи:
1. Получить асимптотическую формулу для числа решений уравнения Пелля с весами, отвечающими за ограничения на переменные x, y ∑x2−ny2=1e−x2+y2N.
2. Изучить поведение особого ряда в асимптотической формуле задачи Клоостермана. Выделить случаи, когда уравнение n = ax2 + by2 + cz2 + dt2, где a, b, c, d, n —положительные целые, не имеет решения.
Актуальность работы следует из того, что решение выше перечисленных задач с квадратичными формами вносят новый вклад в теорию чисел.
В работе применяются методы исследования элементарной теории чисел и математического анализа.
Все результаты, изложенные в работе, являются новыми.
Работа носит теоретический характер. Ее результаты и методы могут быть использованы в дальнейших исследованиях, посвященных аддитивным задачам, а также при разработке специальных курсов по теории чисел.
Достоверность результатов, полученных в диссертационной работе, определяется обоснованными теоретическими выкладками и строгими доказательствами, опирающимися на методы элементарной теории чисел и математического анализа.
Апробация результатов. Основные результаты работы были представлены на Международной научной конференции «Актуальные проблемы прикладной математики и физики», Нальчик, 2017 г. По материалам работы подготовлены 2 статьи, тезисы доклада.
Первая глава диссертации содержит сведения из теории чисел, необходимые при дальнейшем изложении. Основные результаты научной работы сформулированы во 2 и 3 главах.
Во второй главе получена асимптотическая формула для числа решений уравнения Пелля с весами, отвечающими за ограничения на переменные x, y I(n, N) = ∑x2−ny2=1e−x2+y2N.
Доказана следующая теорема.
Теорема 1. Пусть N — натуральное число. Справедлива асимптотическая формула
I(n, N) = e−N1 (√πN√n + 1 + O(e− ln2 N)).
В третьей главе изучено поведение особого ряда асимптотической формулы в проблеме Клоостермана.
В работе [4] Х. Д. Клоостерман получил асимптотическую формулу для числа представлений положительного целого числа линейной комбинацией четырех квадратов с весами. Клоостерман привел примеры отдельных случаев, когда число представлений равно нулю. Случаи для простого p, равного двум, рассмотрены Клоостерманом более подробно, чем для нечетного простого p.
Применение точных формул для сумм Гаусса ([5]—[8]) позволило дополнить случаи [4] для нечетного простого p, при которых уравнение n = ax2 + by2 + cz2 + dt2 не имеет решений.
Результаты исследования приведены в следующих теоремах.
Пусть p — нечетное простое число, a, b, c, d, n —положительные целые.
6Теорема 2. Уравнение n = ax2 + by2 + cz2 + dt2 не имеет решения в случаях:
1. если n и p взаимно просты, коэффициенты a, b, c, d делятся на p;
2. если n и p взаимно просты, три коэффициента квадратичной формы
ax2 + by2 + cz2 + dt2 делятся на p, произведение четвертого коэффициента
и n является квадратичным невычетом по модулю p.
Теорема 3. Пусть
a = pα1a1, (a1, p) = 1, b = pβ1b1, (b1, p) = 1, (c, p) = 1, (d, p) = 1,
n = pη1n1, (n1, p) = 1.
Уравнение n = ax2 + by2 + cz2 + dt2 не имеет решения в случаях:
1. если η1 < α1 ≤ β1, η1 – нечетное число, (−cdp) = −1;
2. если η1 = α1 < β1, η1 – нечетное число, (a1n1p) = −1, (−cdp) = −1;
3. если α1 < η1 < β1, α1, η1 – нечетные числа, (a1n1p) = −1, (−cdp) = −1.
В работе Клоостермана [4] утверждение теоремы 2 доказывается с помощью теории сравнений. Случаи 1 и 2 теоремы 3 приводятся в [4] без доказательства, случай 3 теоремы 3 является новым и не рассматривался ранее.
Теорема 4. Пусть
a = pα1a1, (a1, p) = 1, b = pβ1b1, (b1, p) = 1, c = pγ1c1, (c1, p) = 1, (d, p) = 1,
n = pη1n1, (n1, p) = 1.
Уравнение n = ax2 + by2 + cz2 + dt2 не имеет решения в случаях:
1. если η1 < α1 ≤ β1 ≤ γ1 и η1 – нечетное число;
2. если η1 < α1 ≤ β1 ≤ γ1, η1 – четное число и (dn1p) = −1;
3. если η1 = α1 < β1 ≤ γ1, η1 – нечетное число и (a1n1p) = −1;
74. если α1 < η1 < β1 ≤ γ1, η1 – нечетное число, α1 – четное число и (−a1dp) = −1;
5. если α1 < η1 < β1 ≤ γ1, α1 – нечетное число и ( dpη1+1)(paη11 )(np1) = −1;
6. если α1 < η1 = β1 < γ1, η1 – нечетное число, α1 – четное число и (−a1dp) = −1, (b1n1p) = −1;
7. если α1 ≤ β1 < η1 < γ1, η1 – четное число, α1 – нечетное число, β1 –
нечетное число и (−a1b1p) = −1, (dn1p) = −1;
8. если α1 ≤ β1 < η1 < γ1, η1 – нечетное число, α1 – нечетное число, β1 –
четное число и (−b1dp) = −1, (a1n1p) = −1;
9. если α1 ≤ β1 < η1 < γ1, η1 – нечетное число, α1 – четное число, β1 –
нечетное число и (−a1dp) = −1, (b1n1p) = −1.
Результаты теоремы 4 являются новыми и не исследовались в работе Клоостермана