Введение 3
Глава 1. Задача восстановления сигнала 5
1.1. Обратные некорректные задачи 5
1.2. Фундаментальные понятия 8
1.3. Некорректность задачи восстановления сигналов 15
1.4. Методы решения задачи восстановления сигналов 20
Глава 2. Регуляризация обратных некорректных задач 23
2.1. Понятие регуляризации 23
2.2. Понятие регуляризирующего оператора 25
Глава 3. Восстановление сигнала методами статистической регуляризации.24 3.1.0 методах статистической регуляризации 24
3.2. Метод нахождения классической регуляризованной оценки 27
3.3. Проекционный метод статистической регуляризации 30
3.1. Математические эксперименты и результаты 35
Заключение 38
Приложение
Литература
При обработке экспериментальных данных часто приходится решать так называемые "обратные задачи". Обратные задачи часто возникают во многих разделах науки , когда значения параметров модели должны быть получены из наблюдаемых данных. Они являются некорректно поставленными задачами. Из трёх условий корректно постановленной задачи (существование решения, единственность решения и его устойчивость) в обратных задачах наиболее часто нарушается последнее.
Задача восстановления сигнала является известным примером обратных некорректных задач. Под восстановлением сигнала понимается такая обработка отклика прибора, которая позволяет получить функцию, наиболее близкую к истинному входному сигналу.
Процесс восстановления предусматривает апостериорное обращение тех этапов формирования сигнала, которые вызвали его искажение. Прежде всего, это может быть устранение шумов, вносимых сигналом, то есть сглаживание данных.
Для решения обратных некорректных задач развиты специальные методы, основанные, главным образом, на привлечении дополнительной априорной информации о решении или шуме, такие методы называются методами регуляризации.
В настоящей работе для решения задачи восстановления сигнала рассмотрены два метода статистической регуляризации, метод нахождения классической статистической регуляризованной оценки в которой учитывается априорная информация первого рода о гладкости модельной искомой функции и о предполагаемом уровне ошибок эксперимента и Проекционный метод статической регуляризации который позволяет максимум априорной информации о решении. В главе первой данной работы рассматривается задача восстановления сигнала и методы ее решения. В главе второй рассматривается понятие регуляризации и регуляризирующего оператора. В главе третьей исследуется задача восстановления сигнала методами статистической регуляризации.
Понятие о некорректно поставленных задачах возникло в математической физике, поэтому попытки решения таких задач первоначально были ограничены рамками аналитического подхода. Однако в приложениях некорректные задачи возникают обычно как задачи обработки экспериментальных данных, в связи с чем к ним все чаще стали подходить с позиций математической статистики. При таком подходе стало ясно, что некорректные задачи отличаются от корректных тем, что для получения удовлетворительного решения они требуют нетривиальной дополнительной информации об искомой функции, априорной по отношению к тому опыту, на основании которого составляется решаемое уравнение.
Априорная информация может быть более или менее детальной и иметь своим источником общие соображения, вытекающие из физической сущности задачи (например, гладкость искомой функции), или конкретные данные опытов.
В данной работе рассматривали известный пример обратных некорректных задач (задача восстановления сигнала) и исследовали два метода статистической регуляризации (МСР). Следует отметить, что основные алгоритмы и способы решения обратных некорректных задач эффективны только, когда допускается: 1) ошибки являются случайными величинами; 2) статистическая независимость; 3) отсутствие систематических ошибок; 4) нормальное распределение. В реальном эксперименте эти условия скорее исключение, чем правило.
В заключение отметим, что методы статистической регуляризации продемонстрировали свою эффективность в ряде практически важных приложений и в настоящее время получают все более широкое распространение.
