1 Введение 2
2 Дифференциальная постановка задачи 3
3 Конечно-разностная аппроксимация 6
3.1 Метод последовательной релаксации 8
3.2 Алгебраический многосеточный метод 15
4 Модифицированная численная модель 18
5 Численные эксперименты 22
5.1 Модельная задача 22
5.2 Моодифицированная численная модель 26
5.3 Решение задачи с точным решением 31
5.4 Решение задачи без точного решения 35
5.5 Решение задачиния на GPU 37
6 Вывод 39
7 Список литературы 40
Конвективно-диффузионный перенос играет определяющую роль во многих процессах тепломассообмена. В качестве базовых математических моделей при его описании выступают краевые задачи “конвекции — диффузии — реакции”, отличительным признаком которых является наличие в определяющих уравнениях слагаемых с первой производной и младших членов. Получение решения, даже в одномерном случае, требует привлечения вычислительных средств, поэтому для аппроксимации краевых задач, обладающих достаточной гладкостью, применяются численные методы.
В сварочных технологиях важную роль играют процессы с так называемыми высококонцентрированными источниками, среди которых наибольшее распространение получила электронно-лучевая сварка (ЭЛС). ЭЛС позволяет обрабатывать соединения с глубоким проплавлением и узкой зоной нагрева при высокой скорости сварки и низком тепловложении. Специфика теплового воздействия электронного луча на металл состоит в том, что радиус действия теплового источника много меньше характерных размеров области, при этом резкие пространственно-временные изменения температуры сосредоточены в малой окрестности траектории движения луча. В то же время численное моделирование ЭЛС предполагает детальный расчет динамики температурного поля, которое формируется под действием движущегося нагревателя. Актуальным является повышение точности решения тепловой задачи, которое в значительной степени определяет степень достоверности результатов расчета напряженно-деформированного состояния изделия, оценки качества сварного соединения.
Часто при моделировании сварки пластин источником, движущимся равномерно и прямолинейно, можно ввести систему координат, связанную с движущимся нагревателем. В этом случае источник тепла становится неподвижным, а холодный металл набегает на него со скоростью сварки v. В работе рассматривается стационарная задача диффузии-конвекции с концентрированным источником, движущимся равномерно и прямолинейно.
Мы произвели расчет четырьмя различными способами. Все они давали приемлемые результаты по точности. У каждого способа были различные времена выполнения. И из всего следует, что при использовании метода с точечным источником мы имеем самое оптимальное время. Надеюсь в будущем это будет очень актуально.
При решении задачи алгебраическим многосеточным методом мы имеем при больших размерностях значительное увеличение при решении на GPU. При малых размерностях, n = 128 увеличения выполнения программы не заметны.
