Тема: СФЕРИЧЕСКИ СИММЕТРИЧНЫЕ ЭВОЛЮЦИОННЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИВЕРГЕНТНОГО ТИПА ДЛЯ ПЛОТНОСТИ МАГНИТНОГО МОМЕНТА

Основополагающей проблемой неравновесной термодинамики является, как известно, формулировка эволюционных уравнений для плотностей интенсивник термодинамических параметров, вполне характеризующих локально состояние пространственно распределенной термодинамической системы в представлении ее в виде сплошной среды. Основным требованием, которое предъявляются к решению такой задачи для каждой фиксированной физической среды, при фиксации полного набора ее локальных физических характеристик, является соблюдение принципа минимальности: вывод ЭВОЛЮЦИОННВ1Х уравнений должен быть основан на довольно общих физических принципах, имеющих универсальных характер для всех физических сред. Именно решению такой задачи применительно к ферромагнитной среде посвящена настоящая работа. При этом мы здесь ограничиваемся только рассмотрением так называемых сферически симметричных ферромагнетиков. Как известно (см., например, [1]), локальное термодинамическое состояние диэлектрической ферромагнитной среды в пренебрежении ее механическими деформациями, изменениями со временем t концентраций возможно имеющихся в ней примесных атомов, а также при пренебрежении в ней магнитоэлектрическими эффектами полностью характеризуется локальной температурой T(x,t) и плотностью магнитного момента M(x,t) в каждой пространственной точке с радиус-вектором х. Таким образом, изменение со временем локального термодинамического состояния описывается изменением физических полей T(х, t) и M(x,t). В настоящей работе мы будем заниматься только изучением возможных эволюционных уравнений для поля M(x,t).
В рамках классического подхода для описания динамики плотности магнитного момента M(x, t), как известно [1], используется основное уравнение ферродинамики - уравнение Ландау-Лифшица, которое в случае сферически симметричного ферромагнетика записывается в виде [1, 2]
M(x,t) = Y[M(x,t), AM(x,t) + H(x,t) .
Используя тензорные обозначения это уравнение представим в виде
Здесь M(x,t) = (Mi(x, t), M2(x, t), M3(x, t)) - векторное поле плотности магнитного момента, H(x,t) = (H1(x, t), H2(x, t), H3(x, t)) - напряженность внешнего магнитного поля в пространственной точке с радиусвектором x в момент времени t, 7 = const, £jki - универсальный антисимметричный псевдотензор третьего ранга. При записи этого уравнения использовано правило тензорной алгебры о суммировании по повторяющимся индексам (см., например, [3]). Кроме того, всюду далее принимается, что, во всех формулах, свободные («говорящие») нижние индексы i,j,k,l,m,n принимают значения {1, 2, 3}. Тот факт, что описывается динамика именно сферически симметричного ферромагнетика, отражается в том, что уравнение (1) инвариантно относительно пространственных вращений вектора M при H(x,t) = 0. Обычно, этот факт в теоретической физике выражают утверждением о том, что в уравнении (3) с H(x,t) = 0 не используются никакие иные тензорные физические поля, кроме самого поля M(x,t).
Несмотря на признанную в теории магнетизма адекватность динамического уравнения (1) и его общеупотребительность при решении различных практических задач ферродинамики, оно, как известно, обладает плохим, с физической точки зрения, математическим свойством. Это уравнение бездиссипативно, и поэтому не описывает динамику пространственного распределения магнитного момента в ферромагнитной среде на больших интервалах времени, когда диссипативные процессы начинают играть существенную роль и происходит, вследствие неравновесного распределения плотности магнитного момента в среде, перекачка части энергии взаимодействия между различным образом намагниченных малых пространственных областей среды в тепловую энергию. Возникает вопрос, каким образом нужно изменить уравнение (1) так, чтобы устранить этот дефект [4]. Простой ответ на этот вопрос, в виде добавления в правую часть уравнения (1) слагаемого в виде дифференциального оператора второго порядка с отрицательным символом, которое описывало бы на феноменологическом уровне процессы взаимного «трения магнитных моментов» среды, находящихся в различных пространственных точках среды, невозможен. Это связано с тем, что имеется важное с физическом точки зрения требование, которому должны удовлетворять любые слагаемые, добавляемые в правую
часть уравнения. Решения измененное, таким образом, уравнения должны быть такими, чтобы, в течение эволюции системы, сохранялась величина M2(x,t) = M2 = const. В настоящей работе предлагается подход к решению указанной проблемы на основе сформулированных довольно общих физических принципов, которые представлены в следующем разделе. На этом пути найден общий вид сферически симметричного эволюционного уравнения для поля M(x,t), удовлетворяющего сформулированному условию наличия инварианта M2(x,t) = M2 движения системы, в том случае, когда это уравнение содержит пространственные производные не выше второго порядка. Показано, что в этом случае возможны только обобщенные уравнения, которые дополнительно к слагаемому содержат слагаемое, пропорциональное ([V, M], V)M.

Купить

В работе решена задача об описании класса всех эволюционных уравнений с дифференциальным эволюционным оператором по пространственным производным дивергентного типа для псевдовекторного поля М(х). При этом на возможный выбор эволюционного оператора наложены дополнительные условия: он должен содержать пространственные производные не выше второго порядка, должен быть ковариантным при преобразованиях группы O3 (повороты и отражения евклидового пространства) и при этом должен быть сферически симметричным. Далее, из этого класса эволюционных уравнений выделен класс таких из них, которые обладают инвариантом M2(x,t) = M2.
В результате проведенного исследования оказалось, что все уравнения исследуемого класса имеют следующий вид
Mi = Yl£iklV j Mk V j Ml + Y2 £ikl Vj Mj Mk MmVmMl +
+Y3 £jklV k Ml ViMj + Y4Vj £jkl Mk V lMi + Y5Vj Mi£jklVk Ml +
+Y6^iki( Vj Mk VlMj — VI Mk Vj Mj) .
с произвольными постоянными Ya и a = 1 Щ 6. В частности, если все постоянные Yа = 0 при a = 2 Щ 6 из этого общего уравнения получается сферически симметричное уравнение Ландау-Лифшица для плотности магнитного момента ферромагнетика в отсутствии внешнего магнитного поля.
Заметим, что найденные эволюционные уравнения, в общем случае, не обладают свойством инвариантности относительно замены t ^ —t, М ^ —М. А именно, такой тип инвариантности, которым обладает уравнение Ландау-Лифшица, нарушается в том случае, когда хотя бы одна из постоянных Ya, a = 3Щ6 отлична от нуля. Тогда можно ожидать, что наличие таких слагаемых приводит к эволюционным уравнениям, которые не обладают обратимостью движения.
Заметим, что уравнения описанного класса, в общем случае, не являются соленоидальными, то есть не обладают инвариантом (V, М) = 0.

Купить