ВВЕДЕНИЕ 3
1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЛЕММЫ 4
1.1 Определения понятия арифметическая прогрессия 4
1.2 История исследования простых чисел в арифметических прогрессиях 5
1.3 Постановка задачи 7
1.4 Вспомогательные утверждения и леммы 9
2 . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 14
2.1 Доказательство теоремы 14
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 33
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 34
В теории чисел важную роль играют теоретико-числовые функции. Одной из таких функций является функция делителей тк(п). Суммирующая функция делителей в теории чисел это функция, являющаяся суммой функции делителей. Функция часто используется для исследования асимптотического поведения дзета-функции Римана.
Функцией делителей называют арифметическую функцию, связанную с делителями целого числа. Функция делителей нулевого порядка числа показывает количество делителей данного числа, функция делителей первого порядка показывает сумму делителей данного числа,
Различные исследования асимптотического поведения функции делителей иногда называют проблемами делителей. Многие исследователи рассматривали получение асимптотической формул для суммы значений этой функции, как в арифметической прогрессии, так и без нее. Известна асимптотическая формула для значений тк(п) без арифметической прогрессии (неравенство Марджанишвили К. К.), в арифметической прогрессии с разностью специального вида равной
В качестве объекта исследования в данной работе выступает теоретическое изучение суммы значений функции делителей в арифметической прогрессии с разностью специального вида. Предметом исследования данной работы является асимптотическая формула для суммы значений функции делителей.
Целью исследования в данной работе является изучение процесса суммирования значений функции делителей в арифметической прогрессии с разностью специального вида.
В соответствии с целью исследования были выдвинуты следующие задачи:
- Сформулировать основные и вспомогательные леммы.
- Сформулировать теорему о равномерной оценке остаточного члена асимптотической формулы.
В рамках данной работы был изучен процесс суммирования значений функции делителей в арифметической прогрессии с разностью специального вида.
В ходе выполнения данной работы были решены следующие задачи:
- Сформулированы и доказаны основные и вспомогательные леммы.
- Сформулирована и доказана теорема о равномерной оценке остаточного члена асимптотической формулы.
В результате работы была получена асимптотическая формула для числа значений функции делителей тк(п) в арифметической прогрессии с разностью, равной степени фиксированного нечётного простого числа. При этом оценка остаточного члена равномерна по к. Также определена граница измерения к <(lnxln lnx)14, для которой эта асимптотическая формула непрерывна.
В заключении проведенного исследования можно сделать следующие выводы: среди простых чисел существует тенденция, которая заключается в том, что они предпочитают избегать повторения последних цифр. То есть существует гораздо меньшая вероятность того, что после числа, которое заканчивается на 1, будет идти число, что также заканчивается на 1, чем это должно вытекать из случайного распределения.
