Введение 2
2 Постановка задачи совместной оптимизации программного и возмущенных движений 4
3 Вариация функционала 6
4 Минимаксное условие оптимальности 10
5 Заключение
Список литературы
Один из самых амбициозных проектов современной большой науки — это создание термоядерного реактора, в котором энергия вырабатывается в результате ядерной реакции синтеза.
Основная проблема управляемого термоядерного синтеза — удержание высокотемпературного газа с требуемыми для поддержания горения плазмы параметрами.
В настоящее время существует два принципиальных подхода к удержанию высокотемпературной плазмы: стационарные системы и импульсные системы.
В импульсных системах плазма удерживается в течение короткого времени ее разлета, в то время как в стационарных системах реализуется принцип удержания плазмы сильным магнитным полем на протяжении длительных промежутков времени.
Результаты, полученные в конце 1960-х годов на установках с магнитным удержанием, вывели именно этот тип устройств на позицию наиболее перспективных с точки зрения реализации управляемого термоядерного синтеза.
Развитие технологии, созданной более 60 лет назад, только сейчас приблизилось к созданию установки, способной поддерживать протекание термоядерной реакции на протяжении длительного времени. Такой установкой должен стать международный проект ITER — токамак, строительство которого уже ведется во Франции.
Токамак — сложное электрофизическое устройство для удержания высокотемпературной плазмы, которое представляет из себя замкнутую тороидальную магнитную систему.
В основе работы токамака лежит действие силы Лоренца на заряженную частицу в магнитном поле. Силовые линии магнитного поля токамака замкнуты, что приводит к тому, что частицы движутся по спиралевидным траекториям и плазма сохраняет свою пространственную конфигурацию.
Электромагнитные условия в токамаке создаются системой проводящих катушек, от динамики токов в которых зависит конфигурация поля в камере устройства. За удержание, равновесие и форму плазмы отвечает система активных полоидальных контуров, управляющим воздействием является напряжение в этих контурах.
Полоидальная магнитная система состоит из центрального соленоиды и катушек равновесия. Центральный соленоид отвечает за создание напряжения на обходе тора, которое возникает при изменении потока в центральном соленоиде в соответствии с законом U = — df.
При этом появляются рассеянные магнитные поля, для компенсации которых и существуют катушки равновесия, учитывающие также влияние токов в стенках камеры устройства [4].
Особое значение имеет разработка сценариев для начальной фазы развития разряда — от подъема тока в полоидальных катушках до возникновения плазмы.
Динамика токов в проводящих контурах токамака на начальном этапе разряда может быть описана при помощи системы обыкновенных дифференциальных уравнений [6, 9]
d(LI1 + пт-и
+ RI U.
dt
Здесь L — это матрица индуктивностей, I — вектор токов в проводящих контурах, R — диагональная матрица сопротивлений проводящих контуров, U — вектор напряжений на источниках питания.
Матрица индуктивностей может быть рассчитана, исходя из геометричекой конфигурации токамака, матрица сопротивлений определяется проводящими свойствами элементов конструкции устройства. В векторе напряжений ненулевыми являются элементы, соответствующие полоидальным катушкам с источником питания.
Задача состоит в том, чтобы найти программное управление (напряжение на катушках полоидальной магнитной системы U(t)), при котором реализуются условия пробоя.
Для старта разряда в токамаке необходимо выполнение ряда условий, часть из которых связана с физическим требованиями, а часть с техническими ограничениями установки.
Среди ограничений есть так называемые терминальные и интегральные условия. Выполнение терминальных условий необходимо на конце интервала моделирования, а выполнение интегральных — на всем его протяжении.
Важнейшие условия, накладываемые на поля в зоне пробоя — терминальные и обусловлены физическими процессами, происходящими в камере устройства.
К моменту пробоя необходимо достижение определенного значения напряжения на контуре, проходящем через центр зоны пробоя (14,1 В для установки ITER), а также накладываются ограничения на величину рассеяных магнитных полей в зоне пробоя, в частности, для ITER
величина магнитной индукции Bк моменту начала пробоя не должна превышать 2 млТл в зоне пробоя.
К интегральным ограничениям относятся ограничения на величину токов, напряжений и магнитного поля в полоидальных контурах установки, а также требование постоянного возрастания напряжения.
Данные ограничения могут быть формализованы в виде целевых функций, а затем использованы для записи функционала качества. Таким образом, задача построения оптимального управления сводится к минимизации этого функционала, являющегося функцией управляющего воздействия.
Отметим ряд работ, в которых рассматривается задача оптимального управления для старта разряда в токамаке ITER: [6, 9].
В данной работе исследуются функционалы другого типа, которые предполагается в дальнейшем использовать для решения рассматриваемой задачи.
В работе разработана методика совместной оптимизации программного и возмущенных движений с использованием связки функционалов двух типов: интегрального и минимаксного.
Этот подход интересен тем, что, во-первых, позволяет одновременно учитывать динамику как программного движения, так и динамику пучка траекторий, а, во-вторых, учитывает не только средние характеристики процесса, но и динамику наихудших частиц, оказывающих максимальное влияние на значение минимаксного функционала.
Полученное выражение для вариации может быть использовано для минимизации функционала методами направленного спуска.
Данный подход может быть применен к широкому классу задач, связанных с моделированием сложных электрофизических систем, в частности к задаче оптимизации старта разряда в токамаке ITER.
