Введение................................................................................................................... 3
Глава 1. Математические методы описания костной ткани. .............................. 5
Тензор структуры................................................................................................. 5
О связи тензора структуры и тензора ортотропии .............................................. 8
Эволюционные соотношения ............................................................................. 9
Глава2. Постановка задачи................................................................................... 11
Допущения модели ............................................................................................ 12
Глава 3. Результаты и обсуждение. ..................................................................... 15
Заключение ............................................................................................................ 26
Список литературы
Кость представляет собой сложную материю, это сложный
анизотропный неравномерный жизненный материал, обладающий упругими
и вязкими свойствами, а также хорошей адаптивной функцией. Все
превосходные свойства костей составляют неразрывное единство с их
функциями. Физиологическая перестройка костной структуры возникает при
появлении новых функциональных условий, изменяющих нагрузку на
отдельную кость или часть скелета. Сюда относится профессиональная
перестройка, а также перестройка, вызванная изменением статического и
динамического состояния скелета при бездеятельности, после ампутаций,
при травматических деформациях, при анкилозах и т.п. Новая архитектоника
кости появляется в этих случаях в результате образования новых костных
балок и расположения их соответственно новым силовым линиям, а также в
результате рассасывания старых костных балок, если они перестали
принимать участие в функции. Моделирование перестройки костной ткани,
оценки распределения ее свойств по объему является важной и актуальной
задачей биомеханики. Данная работа посвящена моделированию
формирования костной ткани в около суставной поверхности. Для
достижения поставленной цели были сформулированы следующие задачи:
провести литературный обзор по методам описания структуры костной
ткани, а также моделям физических и эволюционных соотношений; на
основе выбранной модели реализовать алгоритм решения задачи о
перестройке костной ткани под действием внешних сил; провести численные
эксперименты.
Работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка
литературы. Во введении обосновывается актуальность работы,
формулируется цель, определяются задачи и методы для их решения.4
В первой главе изложены математические методы описания структуры
костной ткани, введены понятия тензора структуры, определена его связь с
тензором упругих констант для ортотропного материала, а также
рассмотрена математическая модель перестройки костной ткани.
Во второй главе приведена полная постановка задачи для данной
геометрии, определены параметры рассматриваемой модели.
В третьей главе рассмотрены результаты численного моделирования, а
также их анализ.
В заключении делаются выводы.
В ходе работы было произведено ознакомление с методами описания
структуры костной ткани и моделями физических и эволюционных
соотношений, на основе выбранной математической модели реализован
алгоритм решения поставленной задачи о перестройке костной структуры в
плоскости под действием внешних сил, проведены численные эксперименты
и получены сопутствующие результаты.
На начальном этапе после приложения нагрузки собственные векторы
тензора структуры и тензора напряжений значительно расходятся в
направлении, однако по истечении времени перестройки наблюдается
стремление к нулю угла между ними. Деформации по Вон-Мизесу выходят
на некоторое асимптотическое значение. Поле распределения значений
модуля Юнга становится однородным по мере удаления от линии действия
нагрузки.
Рассматривая решения, полученные при t 16 . д и при t 20 . д , можно
заключить, что максимальные нормальные напряжения при достижении
состояния гомеостатического равновесия увеличиваются в направлении осей
Ох и Оу, их минимальные значения в направлении оси Ох уменьшаются, а в
направлении оси Оу - возрастают. Максимальные и минимальные
перемещения в соответствующих направлениях уменьшаются; деформации
по Вон-Мизесу принимают бо̀льшие значения. Величина модуля упругости
Юнга в направлении оси Ох растет, однако в направлении оси Оу –
уменьшается.
Основываясь на полученных результатах, можно сделать вывод, что
костная структура приходит в состояние гомеостатического равновесия
приблизительно через 20 дней.
