Введение 3
ГЛАВА 1. Арифметическая производная натуральных чисел 4
§1. Определение арифметической производной для N-чисел 4
§2. Свойства производной 9
2.1 Границы арифметической производной 9
§3 Дифференциальные уравнения для натуральных чисел 10
3.1 Уравнение вида п' = п 10
3.2 Уравнение вида п’ = а 12
3.3 Уравнение вида п" = 1 19
§4 Интегральные уравнения 20
§5 Динамика при к ^ ю 28
ГЛАВА 2. Арифметическая производная рациональных чисел 30
§1 Определение арифметической производной для Q-чисел 30
§2 Дифференциальные уравнения для Q-чисел 34
2.1 Рациональное решение уравнения вида х' = а 34
§3 Интегральные уравнения для Q-чисел 35
§4 Логарифмическая производная 39
ГЛАВА 3. Решение различных задач 44
§1. Реализация вычислительных алгоритмов в пакете Maple 44
Заключение 54
Список литературы: 55
Арифметическая производная (arithmetic derivative)
натуральных чисел п определяется следующим образом:
• п' = 1 для любого простого числа n;
• (xy)' = Xy + xy' для любых натуральных чисел x и у (правило Лейбница).
Например, производная числа 1 равна 0, то есть 1' = 0, а производная 4 равна 4, так как 4' = (2 • 2)' = 2' • 2 + 2 • 2' = 1 • 2 + 2 • 1 = 4. Это определение сохраняет некоторые известные свойства «обычной» производной. Например, для арифметической производной выполняется правило дифференцирования степенной функции: (pm)' = mpm - 1 для простых чисел р. Используя правило дифференцирования отношения, можно определить производную и для рациональных чисел:
x Y _ x 'у - xy
У J ~ y2 для любых натуральных чисел x и y.
Цель квалификационной работы — изучить свойства арифметической производной натуральных и рациональных чисел, а также возможные обобщения этого понятия на случай алгебраических чисел. Предлагается также изучить и решить простейшие «дифференциальные» уравнения для натуральных чисел. C помощью системы компьютерной математики Maple разработать пакет программ для вычисления производных различных натуральных чисел.
В квалификационной работе было рассмотрено определение арифметической производной для случая натуральных и рациональных чисел. Также были изучены свойства арифметической производной. С их помощью были разобраны дифференциальные уравнения для натуральны, а также рациональных чисел.
Составлены и разобраны алгоритмы в пакете Maple, связанные с понятием арифметической производной и реализующие решение близких по тематике задач. Ряд примеров взят с сайта [6].
Работа может быть использована в качестве методического пособия на факультативных занятиях по математике учителями средних школ, а также при разработке исследовательских проектов для учеников старших классов. Некоторые из рассмотренных задач можно использовать при подготовке к олимпиадам по математике.
