1 Введение 3
2 Пространство основных функций 6
3 Пространство обобщенных функций 9
4 Метод коллокации, основанный на применении
полиномов Бернштейна 10
5 Метод коллокации, основанный на применении интерполяционных полиномов Эрмита - Фейера. 16
6 Заключение 18
Теория интегральных уравнений была и остается одной из центральных областей математики и ее приложений. К настоящему времени наиболее полные результаты получены по решению регулярных интегральных уравнений Фредгольма и Вольтерра первого и второго родов, сингулярных интегральных уравнений. Подробный обзор установленных результатов и обширную библиографию можно найти в справочных пособиях, например, [18], в специальных обзорных работах [21,27], а также в монографиях, например, [12,14,20,22] и др. В то же время ряд важных задач теорий плазмы [42], упругости, переноса нейтронов, рассеяния частиц (см., напр., [19,38] и библиографию к [38]), а также теорий уравнений смешанного типа (см. [4-6]) и сингулярных интегральных уравнений с вырождающимся символом (см. [28]) приводит к уравнению третьего рода (УТР). Обнаружилось, что очень часто естественными классами решений ряда прикладных задач, приводящихся к УТР, являются специальные пространства обобщенных функций (ПОФ) типа D или типа V. Под D (соответственно V) понимается ПОФ, построенных при помощи функционала “дельта-функция Дирака” (соответственно “конечная часть интеграла по Адамару”). Впервые в ПОФ УТР исследовалось Г.Р. Бартом и Р.Л. Варноком [38]. Их исследования были продолжены и развиты в работах В.С. Рогожина и С.Н. Расламбекова [31-34], Г.Р. Барта [37], Н. Сукаванама [41], К.Б. Бараталиева [3], С.Н. Расламбекова [29,30]. Все эти работы посвящены теории Нетера для соответствующих УТР в классах непрерывных, интегрируемых и обобщенных функций. По¬дробный обзор полученных результатов и библиографию можно най¬ти в монографии Н.С. Габбасова [10]. В диссертации Абдурахмана [1] исследовано УТР с особым дифференциальным оператором в глав¬ной части. В предположении, что исходные данные являются точечно “гладкими”, построена теория Нетера для соответствующих УТР J в классах гладких и обобщенных функций. В статье Д. Шулаи [42]
1 рассмотрено УТР с коэффициентом cos t, имеющим на промежутке
1 интегрирования конечное множество нулей. В случае гельдерова ядра интегрального оператора, а правой части из класса Мусхелишвили,
| методами теории сингулярных интегральных уравнений установлены необходимые и достаточные условия разрешимости исследуемых УТР в классе Мусхелишвили.
| УТР точно решаются лишь в очень редких частных случаях, поэтому разработка теоретически обоснованных эффективных методов их I
I приближенного решения в ПОФ является актуальной задачей. Первые результаты в этом направлении получены в работах Н.С. Габбасова [8,10], который исследовал УТР с коэффициентом, имеющим на отрезке интегрирования конечное множество нулей любого степенного порядка. Им были предложены и обоснованы как классические, так j и специальные прямые методы решения этих уравнений. При этом по
решению общих УТР в пространстве типа D получены в определён- j ном смысле окончательные результаты, а в классе типа V подробные
исследования проведены в частных случаях в зависимости от характера нулей коэффициента уравнения. В статье В.А. Золотаревского [17]
некоторые результаты Н.С. Габбасова (1990 г.) в частном случае пространства типа D перенесены на УТР в комплексной плоскости. Дис-
j сертация С.А. Соловьевой [35] посвящена приближенному решению и обоснованы оптимальные по порядку точности прямые проекционные методы решения изучаемых уравнений. В диссертации Замалиева Р.Р. [16] построена теория разрешимости УТР с коэффициентом, 1 j имеющим в промежутке интегрирования конечное множество нулей
степенного порядка, и ядром, имеющим особенности произвольного степенного порядка на концах рассматриваемого отрезка; разработаны и теоретически обоснованы методы приближенного решения таких уравнений в ПОФ типа D. Разработка теоретически обоснованных эффективных методов их приближенного решения в ПОФ является актуальным и активно развивающимся направлением математического анализа и вычислительной математики, см., например, [39], [36], [40] и ДР-
В настоящей работе разработаны обобщенные варианты метода коллокации, специально приспособленные к приближенному решению УТР¬ФО (1) в классе X. Основное внимание уделено обоснованию исследуемых методов в смысле ( [12], гл. 1). Именно, доказаны теоремы существования и единственности решения соответствующего приближенного уравнения, установлены оценки погрешности приближенно¬го решения и доказана сходимость последовательности приближенных решений к точному решению в ПОФ X. Рассмотрены также вопросы устойчивости и обусловленности аппроксимирующих уравнений.
