Введение 2
Глава 1. Геометрии Лобачевского, де Ситтера и их модели 4
1.1. История возникновения неевклидовой геометрии 4
1.2. Некоторые факты неевклидовой геометрии 6
1.3. Классические модели плоскости Лобачевского и плоскости
де Ситтера 7
1.4. Геометрия де Ситтера 20
1.5. Идеальная область плоскости Лобачевского 22
1.6. Получение конформной модели геометрии де Ситтера
методом нормализации Нордена 25
Глава 2. Поверхности в псевдоевклидовом пространстве 31
2.1. Псевдоевклидово пространство 31
2.2. Геодезические на поверхностях с метрикой де Ситтера 34
Заключение 47
Список литературы 48
Геометрия Лобачевского (гиперболическая геометрия) — одна из неевклидовых геометрий, геометрическая теория, основанная на тех же основных посылках, что и обычная евклидова геометрия, за исключением
аксиомы о параллельных, которая заменяется на аксиому о параллельных Лобачевского. Основой геометрии Лобачевского стал проблема об
аксиоме о параллельных, которая известна также как V постулат Евклида. Модели геометрии Лобачевского предоставили подтверждение её
непротиворечивости, вернее показали, что геометрия Лобачевского столь
же непротиворечива, как геометрия Евклида.
Актуальность темы: неевклидовы геометрии служат постоянным источникам новых математических задач, а так же сами являются языком
для описания различных математических и физических конструкции.
Изучение их моделей является необходимым условием для понимания
их содержания. Эта тематика активно развивается в нашей стране и за
рубежом. Например, в своей статье в журнале ”Сибирские электронные
математические известия” Иджад Хакович Сабитов использует модели
плоскости Лобачевского для решения различного рода задач[13].
Объект исследования: двумерные пространства постоянной кривизны
с положительно определенной и индефинитной метрикой.
Предмет исследования: изучение конформных моделей плоскости Лобачевского и плоскости де Ситтера.
Цель работы: описать модели Пуанкаре плоскости Лобачевского и плоскости де Ситтера,а также изучить поверхности с метрикой де Ситтера в
псевдоевклидовом пространстве.
Задачи: кратко изложить историю возникновения неевклидовой геометрии, описать некоторые факты неевклидовой геометрии, в особенности, геометрии Лобачевского и двойственной ей геометрии де Ситтера,
построить геодезические на аналогах псевдосферы в трехмерном псевдо-
2евклидовом пространстве.
Апробация: результаты работы опубликованы в материалах Всероссийской научно – практической конференции с международным участием (для студентов, аспирантов и молодых ученых) [16].
В данной выпускной квалификационной работе были рассмотрены основные модели плоскости Лобачевского и плоскости де Ситтера.Конформная
модель плоскости де Ситтера была получена методом нормализации Нордена. Кратко изложено история возникновения неевклидовой геометрии,
описаны некоторые факты неевклидовой геометрии, в особенности, геометрии Лобачевского и двойственной ей геометрии де Ситтера, построены геодезические на аналогах псевдосферы в трехмерном псевдоевклидовом пространстве
