Тема: КАЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ И МОДЕЛИРОВАНИЕ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ И ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ

Наш мир стремится к гармонии, несмотря всю свою изменчивость и многообразие, в общем, все ходит по замкнутым циклам, а точнее все происходит периодически. Огромное количество взаимосвязей между видами, как флоры так и фауны находятся в постоянном соприкосновении, в связи и во взаимодействии. Как круговорот воды в природе, так и популяции видов постоянно изменяют свое счетное состояние, но не меняют общего числа. Хорошо известна аналогия про хищников и жертв, где изменения числа одних особей напрямую изменяет число других. И несмотря на модельность этой аналогии, она как нельзя лучше описывает состояние и динамику окружающего нас мира.
Также с подобным мы сталкиваемся в законах сохранения, говорящих, что, в общем и целом, наш мир мы можем рассматривать как замкнутую систему, в которой не меняется количество энергии, частиц и т.д. А меняется их состояние и эти процессы имеют свои периоды.
Многие столетия ученые занимались тем, что рассматривали эти системы, их взаимосвязи и пытались все это описать. Так появилась “Теория колебаний”.
Предмет рассмотрения теории колебаний: необходимость единого рас-смотрения колебательных явлений, встречающихся в различных разделах физики и техники. Создание основ теории колебаний, её развитие, применение к различным процессам в природе и технике, разработка математических методов и конечно экспериментальные исследования представлены в работах таких великих ученых как: Релей, А.Пуанкаре, А,М, Ляпунов, Б. Ван-дер- Поль, Л.И.Мандельштам и А.А. Андронов, которые внесли огромный вклад в развитие этой области знаний. Благодаря им появились: кинематический и динамический подходы к рассмотрению колебательных процессов, были созданы модели для рассмотрения и классификации колебательных систем.
В данной работе мы рассматриваем три идеализированные модели, которые можно описать одним дифференциальным уравнением второго порядка:
d Qх = — со Qx— ydtx + p F (t) ,
где для математического маятника:
x - угол отклонения от точки равновесия ( 0 ), а p = 1 /mL;
для пружинного маятника:
x - координата (x), а p = 1 / m;
для ALC-контура:
x -заряд (q),а p = 1 / L.
Цель работы: изучить теорию динамических систем, описывающих колебательные и волновые процессы, их представление на фазовой плоскости; провести исследование алгоритмов компьютерного моделирования для со-здания симулятора колебаний в разных механических и электромагнитных системах; выполнить исследование решений уравнения КдВ.
Задачи:
1) изучение теории динамических систем в части качественного анализа колебательных и волновых процессов на фазовой плоскости;
2) изучение необходимых аспектов устойчивости динамических систем по Ляпунову;
3) рассмотрение алгоритмических подходов к моделированию, решений и фазовых портретов уравнений, описывающих линейные и нелинейные вол-новые процессы;
4) алгоритмизация задач по исследованию колебательных процессов для механических и электромагнитных систем;
5) программирование соответствующих задач теории колебаний.

Купить

В данной выпускной квалификационной работе были изучены колебательные и волновые процессы, и в частности: методы качественного анализа динамических систем, компьютерное моделирование линейных и нелинейных колебательных и волновых процессов, включая анализ этих процессов на фазовой плоскости. Особое внимание было уделено подходу к исследованию с точки зрения качественного анализа систем путем построения их фазовых портретов на фазовой плоскости, что позволяет наглядно видеть и детально анализировать все возможные в системе решения, а также анализировать их устойчивость, используя принципы и теоремы Ляпунова. Такой подход позволяет в конечном итоге строить классификацию возможных решений исследуемой системы. В части численного исследования систем, в процессе выполнения работы нами была разработана программа, моделирующая механические (линейный гармонический осциллятор и линейный математический маятник) и электромагнитные колебания (колебания в FLC-контуре), с автоматической визуализацией фазового портрета исследуемой системы.
Тема компьютерного моделирования в последнее время становится всё более актуальной. И на то есть объективные причины. Компьютерные модели проще и удобнее исследовать в силу возможности проводить с ними вы-числительные эксперименты в тех случаях, когда реальные эксперименты затруднены из-за физических препятствий или могут дать непредсказуемый результат.
Компьютерное моделирование также даёт нам возможность:
• визуализировать объекты любой природы, в том числе и абстрактные;
• исследовать явления и процессы в динамике их развертывания;
• управлять временем (ускорять, замедлять и т.д.);
• совершать многоразовые испытания модели, каждый раз возвращая её в первичное состояние;
• получать разные характеристики объекта в числовом или графическом виде;
• находить оптимальную конструкцию объекта, не изготовляя его пробных экземпляров.
В заключение отметим, что математическое моделирование используется при решении физических и технических задач, и включает в себя, как основу, разработку вычислительных методов и их алгоритмическую реализацию. Оно также позволяет более глубоко усвоить непосредственно физический материал соответствующих разделов, овладеть практическими навыками использования современных подходов к компьютерному моделированию и применению вычислительной техники для моделирования физических явлений и процессов в самых разнообразных физических и технических областях. В процессе работы нами было показано, что на базе представленных результатов пользователи при исследовании физических систем могут проводить и использовать для всестороннего и наиболее полного анализа аналогии между явлениями и процессами различной физической природы.

Купить