КАЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ И МОДЕЛИРОВАНИЕ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ И ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ

ВВЕДЕНИЕ 4
1. КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНОВЫЕ ПРОЦЕССЫ 6
1.1. Колебания в механических системах. Основные уравнения 7
1.2. Электромагнитные колебательные системы. RLC-контур. Основные
уравнения 9
1.3. Единая природа колебательных процессов в разных физических
системах. Явление биений и резонанс 14
1.3.1. Резонанс 15
1.3.2. Биения 18
1.4. Волновые процессы. Волновое уравнение и уравнение Кортевега-де
Вриза 20
1.4.1. Плоские, сферические и цилиндрические волны 21
1.4.2. Уравнение плоской волны 22
1.4.3. Фазовая скорость 24
1.4.4. Волновое уравнение 25
1.4.5. Уравнение КдВ 26
2. ТЕОРИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ. АНАЛИЗ НА ФАЗОВОЙ ПЛОСКОСТИ 31
2.1. Фазовые портреты 32
2.2. Принципы и теоремы Ляпунова 34
2.3. Качественный анализ динамических систем, описывающих
колебательные и волновые процессы 40
2.3.1. Общие представления о колебательных и волновых процессах.. 40
2.3.2. Гармонические колебания и их характеристики 43
2.3.3. Решения и фазовые портреты для уравнения КдВ 47
3. МОДЕЛИРОВАНИЕ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ И ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ 53
3.1. Решение дифференциального уравнения первого порядка 53
3.2. Алгоритмы моделирования колебательных систем на основе
дифференциальных уравнений второго порядка 56
3.2.1. Метод Эйлера 57
3.2.2. Алгоритм метода Эйлера-Кромера 59
3.2.3. Методы Рунге-Кутта 4 порядка 61
3.3. Алгоритмы моделирования линейных и нелинейных волновых
процессов 63
3.3.1. Волновое уравнение 63
3.3.2. Уравнение КдВ 65
3.4. Результаты исследования 67
3.4.1. Механические и электромагнитные колебательные системы.. 68
3.4.2. Примеры результатов моделирования нелинейных волновых
процессов 73
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 81
ЛИТЕРАТУРА 83
ПРИЛОЖЕНИЕ 85

Купить

Наш мир стремится к гармонии, несмотря всю свою изменчивость и многообразие, в общем, все ходит по замкнутым циклам, а точнее все происходит периодически. Огромное количество взаимосвязей между видами, как флоры так и фауны находятся в постоянном соприкосновении, в связи и во взаимодействии. Как круговорот воды в природе, так и популяции видов постоянно изменяют свое счетное состояние, но не меняют общего числа. Хорошо известна аналогия про хищников и жертв, где изменения числа одних особей напрямую изменяет число других. И несмотря на модельность этой аналогии, она как нельзя лучше описывает состояние и динамику окружающего нас мира.
Также с подобным мы сталкиваемся в законах сохранения, говорящих, что, в общем и целом, наш мир мы можем рассматривать как замкнутую систему, в которой не меняется количество энергии, частиц и т.д. А меняется их состояние и эти процессы имеют свои периоды.
Многие столетия ученые занимались тем, что рассматривали эти системы, их взаимосвязи и пытались все это описать. Так появилась “Теория колебаний”.
Предмет рассмотрения теории колебаний: необходимость единого рас-смотрения колебательных явлений, встречающихся в различных разделах физики и техники. Создание основ теории колебаний, её развитие, применение к различным процессам в природе и технике, разработка математических методов и конечно экспериментальные исследования представлены в работах таких великих ученых как: Релей, А.Пуанкаре, А,М, Ляпунов, Б. Ван-дер- Поль, Л.И.Мандельштам и А.А. Андронов, которые внесли огромный вклад в развитие этой области знаний. Благодаря им появились: кинематический и динамический подходы к рассмотрению колебательных процессов, были созданы модели для рассмотрения и классификации колебательных систем.
В данной работе мы рассматриваем три идеализированные модели, которые можно описать одним дифференциальным уравнением второго порядка:
d Qх = — со Qx— ydtx + p F (t) ,
где для математического маятника:
x - угол отклонения от точки равновесия ( 0 ), а p = 1 /mL;
для пружинного маятника:
x - координата (x), а p = 1 / m;
для ALC-контура:
x -заряд (q),а p = 1 / L.
Цель работы: изучить теорию динамических систем, описывающих колебательные и волновые процессы, их представление на фазовой плоскости; провести исследование алгоритмов компьютерного моделирования для со-здания симулятора колебаний в разных механических и электромагнитных системах; выполнить исследование решений уравнения КдВ.
Задачи:
1) изучение теории динамических систем в части качественного анализа колебательных и волновых процессов на фазовой плоскости;
2) изучение необходимых аспектов устойчивости динамических систем по Ляпунову;
3) рассмотрение алгоритмических подходов к моделированию, решений и фазовых портретов уравнений, описывающих линейные и нелинейные вол-новые процессы;
4) алгоритмизация задач по исследованию колебательных процессов для механических и электромагнитных систем;
5) программирование соответствующих задач теории колебаний.

Купить