Введение 3
Глава 1. Бинарные отношения порядка 4
1.1 Бинарные отношения 4
Глава 2. Отношения порядка 6
2.1 Разновидности отношений порядка 6
2.2 Операции над отношениями порядка 10
2.3 Отношение эквивалентности 17
Глава 3. Упорядоченные множества 19
3.1 Основные понятия и факты 19
Глава 4. Кардинальные числа 21
4.1 Кардинальные числа и их свойства 21
Глава 5. Ординальные числа 27
5.1 Ординальные числа и их свойства 27
Заключение 34
Список литературы
Понятие «множество» стало использоваться в математике относительно недавно, в конце 19-го - начале 20 века. Оно не является строго определяемым и служит для описания совокупности предметов или объектов. Его близкие значения - «совокупность», «семейство», «класс», «система», «собрание» и др.
Кантор, один из основателей теории множеств, считал, что «под множеством понимают объединение в одно общее объектов, хорошо различаемых нашей интуицией или нашей мыслью»; «множество есть многое, мыслимое нами как единое». Важнейшим в понятии «множество» является то, что некоторые предметы объединяются в одно целое.
Одним из подходов к понятию множества является рассмотрение его как совокупность определенных различаемых объектов, причем таких, что для каждого можно установить, принадлежит этот объект данному множеству или нет. Эти объекты, или элементы множества, считаются отличимыми друг от друга и от объектов, не входящих в данное множество. Такие множества называют в теории алгоритмов разрешимыми и они не исчерпывают весь объем понятия множества.
Множество, в котором зафиксирован некоторый порядок называется упорядоченным.
Линейно упорядоченные алгебры, в том числе и линейно упорядоченное пространство ординальных чисел имеют порядковую структуру. Систематического изложения теории пространства ординальных чисел не существует. Этим объясняется актуальность выбранной темы.
Данная работа посвящена вопросам, лежащим в области алгебры, и связана с изучением упорядоченных множеств.
Цель работы: рассмотреть кардинальные и ординальные числа, и их свойства.
Задачи работы:
- определить свойства бинарных отношений и основные определения;
- рассмотреть отношения порядка, их разновидности и основные операции;
- проанализировать упорядоченные множества и операции над ними;
- ввести понятие порядкового типа, порядкового числа, кардинального числа и установить свойства ординальных и кардинальных чисел.
В представленной выпускной квалификационной работе получены следующие результаты.
Изучены свойства бинарных отношений, отношения порядков и их разновидности, операции над отношениями порядков, отношение эквивалентности, кардинальные числа, операции над кардинальными числами, ординальные числа и их свойства, так же затронута проблема континуум- гипотезы.
Огромный вклад в развитие кардинальных и ординальных чисел внес Кантор. Георг Кантор (1845-1918), родился в Петербурге. Уже после окончания Берлинского университета с 1869 года преподавал в университете г.Галле. Его деятельность встретила отрицательные отзывы со стороны множества математиков той эпохи, они приняли особенно резкие формы после того как Кантор в 1877 г. доказал равномощность числовой прямой (одномерное пространство R1) и числовой плоскости (двумерное пространство R2), а вскоре и равномощность с ними трехмерного пространства R3и любого n-мерного пространства Rn. Возникающую при этом растерянность, лучше всего выразить словами самого Кантора: "Я это вижу, но не верю в это". Теория бесконечных множеств приобрела всеобщее признание лишь в начале XX века, и сейчас этот раздел математики формирует фундамент большинства современных теорий.
