Всем известно, что исследование геометрии начинается с треугольника, далее идёт исследование многоугольников. В какой-то степени эти фигуры являются основами геометрической науки. Сама геометрия на самом деле становится содержательной и интересной только с появлением многоугольников. Установлено, что регулярно открываются их новые свойства.
Актуальность темы: в последние годы возрождается интерес к элементарной математике. Математики из разных стран обращаются красной теме, создают далеко идущие обобщения геометрических теорем из элементарной математики.
Объект исследования: многоугольные фигуры в двумерных пространствах постоянной кривизны.
Предмет исследования: педальные свойства многоугольников.
Цели и задачи: изучение некоторых педальных свойств многоугольных фигур, в частности, рассмотрение случаев, когда педальный многоугольник точки относительно данного многоугольника вырождается. Рассмотрение теоремы Смарандача и ее аналогов в двумерных пространствах постоянной кривизны.
Для достижения этой цели в работе решаются следующие задачи:
1. исследовать свойства педального треугольника и многоугольника на рассматриваемых плоскостях.
2. изучить случаи вырождения педального треугольника в рассматриваемых геометриях;
Для каждого педального многоугольника будут рассмотрены их свойства и примеры применения к решению разнообразных геометрических задач.
Структуру и содержание данной работы составляют: введение, три главы, заключение, задачи, список литературы.
Тем не менее, исследуемые конструкции, связанные с треугольниками и многоугольниками и в настоящее время считаются источником для постановки различных задач. Примером тому служат педальные треугольники и многоугольники.
В ходе решения задач, поставленных в этой работе, были получены следующие результаты:
1) На основе теоретического анализа математической, учебной и методической литературы, приведены основные понятия, предложения и структура изложения материала.
2) Рассмотрены задачи о педальном треугольнике: на инверсию, вписанные углы, гомотетию.
3) Изучены случаи вырождения педального треугольника в двумерных пространствах постоянной кривизны.
4) Рассмотрены аналоги теоремы Смарандача на гиперболической и эллиптической плоскостях.
Итоги данной работы могут быть применены на специальных курсах в высших учебных заведениях, а также отчасти на элективных курсах в школах.
