Введение 3
1. Постановка задачи 7
2. Реализация метода 11
2.1 Метод Монте-Карло 11
2.2 Функция плотности 17
2.3 Разработка графического интерфейса 18
3. Тестирование программы 24
Заключение 40
Литература 41
Приложение 42

Купить

Под статистическим моделированием понимают решение различных прикладных задач вне математической статистики с применением методов математической статистики при помощи моделирования случайных величин. В нем искомые величины представляют вероятностными характеристиками какого-нибудь случайного явления. Они моделируются и после этого необходимые характеристики приближённо определяются путём статистической обработки «наблюдений» модели.
Статистическое моделирование - это молодое и перспективное научное направление. Она получила развитие в середине двадцатого века в связи с ростом возможностей вычислительной техники. Статистическое
моделирование широко используется при решении задач из различных областей человеческого знания. Среди них такие актуальные области как химия, биология, экономика, физика и другие. Например:
• численное интегрирование
• расчеты в системах массового обслуживания
• расчеты качества и надежности изделий
• расчеты прохождения нейтронов сквозь пластину
• передача сообщений при наличии помех
• задачи теории игр
• задачи динамики разреженного газа
• задачи дискретной оптимизации
• задачи финансовой математики (оценивание опционов и др.)
Некоторые из этих задач имеют очевидную вероятностную природу, например, система массового обслуживания или финансовой математики; а часть представляют собой пример использования идей статистического
моделирования при исследовании математических моделей объектов, не имеющие таковой, например, вычисление определенного интеграла.
Одним из широко известных методов статистического моделирования являются методы Монте-Карло. Название методов произошло от одноименного города в княжестве Монако, где располагаются самые известные казино в мире. Все дело в том, что случайные числа и их генерация составляют основу методов Монте-Карло. Можно сказать, что рулетка в казино - это прибор для генерации случайного числа.
Эксперименты, где использовались методы статистических испытаний, проводились довольно давно. Еще в 1777 году француз Бюффон выполнял эксперименты для вычисления числа п. В своих экспериментах он подбрасывал иглу и вычислял частоты пересечения иглы одной из параллельных прямых. Широкое распространение идей, которые связаны с подобными методами, стало реальным с началом эры вычислительных машин. Появилась возможность проводить эксперименты на компьютерах, в том числе и для получения случайных чисел.
Изначально метод использовался при решении сложных задач теории переноса излучения и нейтронной физики, в котором традиционные численные методы оказались малопригодными. В 1930-х годах Э. Ферми в Италии, а затем в 1940-х годах в Лос-Аламосе Стенли Улам и Джон фон Нейман решили использовать стохастический подход для аппроксимации многомерных интегралов в уравнениях переноса, возникших в связи с задачей о движении нейтрона в изотропной среде. Чуть позже Энрико Ферми разработал механическое устройство под названием «Fermiac», которое использовалось в вычислениях в задачах ядерной физики. В 1944 году учёные из Америки Стенли Улам и Дж. фон Нейман применили аппарат теории вероятностей для решения прикладных задач с помощью ЭВМ в работе по созданию атомных реакторов.
В Советском Союзе статьи о методе Монте-Карло впервые были опубликованы в 1955-1956 годах, над которыми работали Чачванидзе В.В., Шрейдер И.Ю. и Владимиров В.С.
В настоящее время имеется очень много работ, в которых исследуются теоретические основы метода или рассматриваются его применения к конкретным задачам. Метод Монте-Карло оказывал и до сих пор оказывает огромное влияние для развития методов вычислительной математики. Например, развитие методов численного интегрирования. Во время решения большинства задач метод Монте-Карло хорошо сочетается с другими вычислительными методами и пополняет их. Метод оправдывает свое применение в первую очередь в таких задачах, в которых можно допустить теоретико-вероятностное описание. Все это можно объяснить существенным упрощением процедуры решения, а также и естественностью получения ответа с некоторой заданной вероятностью в задачах с вероятностным содержанием.
Одним из наиболее сложных этапов решения задач на ЭВМ в настоящее время следует считать описание исследуемого явления математическим языком, кроме того необходимо упрощать задачи, выбирать подходящий численный метод, исследовать его погрешность и записать алгоритм. Если у задачи существует теоретико-вероятностное описание, то используя метод Монте-Карло можно существенно упростить промежуточные этапы, которые были упомянуты. В большинстве случаев также и для детерминированных задач полезно строить вероятностную модель, чтобы далее использовать метод Монте-Карло.
При исследовании стохастических систем и процессов также можно применить метод Монте-Карло, который является универсальным методом для их исследования. Этот метод не зависит от каких-нибудь теоретических ограничений, но и одинаково применим для моделей любой физической природы. Метод Монте-Карло все в большей мере используется в задачах теории массового обслуживания, в задачах теории игр и математической экономики, в задачах теории передачи сообщений при наличии помех и в других. В частности, эти методы широко применяются в решении задач математической физики. Например, моделирование взаимодействия плазмы с поверхностью обрабатываемого материала, расчет кинетических коэффициентов частиц плазмы, расчет функций распределения по скоростям, сечений столкновений и т.д.
В данной работе рассмотрено применение метода Монте-Карло к нахождению функций распределения заряженных частиц по скоростям в атомарных газах.
Купить