📄Работа №51549
Тема: ЗАДАЧИ МОДУЛЯРНОЙ АРИФМЕТИКИ В КОМПЬЮТЕРНОЙ АЛГЕБРЕ
Тип работы
Бакалаврская работа
Предмет
Математика
Объем:
61 листов
Год:
2017
Просмотров:
132
4300
руб.
🛒 Купить работу
Не подходит эта работа?
Закажите новую по вашим требованиям
Узнать цену на написание
Закажите новую по вашим требованиям
Представленный материал является образцом учебного исследования, примером структуры и содержания учебного исследования по заявленной теме. Размещён исключительно в информационных и ознакомительных целях.
Workspay.ru оказывает информационные услуги по сбору, обработке и структурированию материалов в соответствии с требованиями заказчика.
Размещение материала не означает публикацию произведения впервые и не предполагает передачу исключительных авторских прав третьим лицам.
Материал не предназначен для дословной сдачи в образовательные организации и требует самостоятельной переработки с соблюдением законодательства Российской Федерации об авторском праве и принципов академической добросовестности.
Авторские права на исходные материалы принадлежат их законным правообладателям. В случае возникновения вопросов, связанных с размещённым материалом, просим направить обращение через форму обратной связи.
Настоящий учебно-методический информационный материал размещён в ознакомительных и исследовательских целях и представляет собой пример учебного исследования. Не является готовым научным трудом и требует самостоятельной переработки.
📋 Содержание
ВВЕДЕНИЕ
1. НАХОЖДЕНИЕ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ 6
2. НАХОЖДЕНИЕ СОСТАВНЫХ ЧИСЕЛ 13
3. МОДУЛЯРНАЯ АРИФМЕТИКА 18
4. КИТАЙСКАЯ ТЕОРЕМА ОБ ОСТАТКАХ 23
5. НОД ПОЛИНОМОВ 32
6. КРИПТОГРАФИЧЕСКАЯ СИСТЕМА RSA 44
7. СБОРНИК ЗАДАЧ МОДУЛЯРНОЙ АРИФМЕТИКИ 57
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 59
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 60
1. НАХОЖДЕНИЕ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ 6
2. НАХОЖДЕНИЕ СОСТАВНЫХ ЧИСЕЛ 13
3. МОДУЛЯРНАЯ АРИФМЕТИКА 18
4. КИТАЙСКАЯ ТЕОРЕМА ОБ ОСТАТКАХ 23
5. НОД ПОЛИНОМОВ 32
6. КРИПТОГРАФИЧЕСКАЯ СИСТЕМА RSA 44
7. СБОРНИК ЗАДАЧ МОДУЛЯРНОЙ АРИФМЕТИКИ 57
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 59
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 60
📖 Введение
В последней трети XX века важное значение в разных областях науки, в том числе математики, приобрели вопросы, для решения которых требуются информационно-коммуникативные технологии. Методы решения таких задач исследуются в компьютерной алгебре.
Компьютерная алгебра имеет дело в основном с целыми числами, употребляя соответствующие структуры данных. В ней основной целью является изучение алгоритмов аналитических преобразований с точки зрения их эффективной реализации в программах.
Одними из эффективных методов решения задач целочисленной математики являются методы модулярной арифметики.
В модулярной арифметике работают с остатками по модулю, т.е. вместо чисел рассматриваются их наименьшие неотрицательные вычеты. Таким образом, арифметика целых чисел реализуется через арифметику остатков.
Тема нашей выпускной квалификационной работы: «Задачи модулярной арифметики в компьютерной алгебре». Мы считаем, что тема работы достаточно актуальна, хотя она достаточно подробно освещена в специальной литературе. В настоящее время методы и средства модулярной арифметики используются для решения многих задач символьных вычислений в системах компьютерной алгебры.
Проблемой нашего исследования является исследование вопроса, как и какие методы теории чисел и теории сравнений используются в задачах компьютерной алгебры.
Целью нашего исследования является определение методов теории чисел, которые являются инструментом компьютерной алгебры.
Исходя из цели исследования, мы поставили перед собой следующие задачи:
1. На основе изучения теоретико-числовой литературы по теме исследования провести теоретический анализ проблемы.
2. Выделить задачи модулярной арифметики, при решении которых используются методы теории сравнений.
3. Провести доказательства теорем, лежащих в основе модулярных методов.
4. Описать классы чисел, применяемых в модулярной арифметике с целью решения её задач (числа Кармайкла и др.)
5. Приводить описание алгоритмов на языке Pascal, c контрольными примерами.
6. Составить сборник задач для самостоятельной работы по методам модулярной арифметики.
Объект исследования: математический аппарат модулярной арифметики.
Предметом исследования являются методы теории чисел и теории сравнений в компьютерной алгебре.
Для решения поставленных задач были использованы такие методы исследования:
1. Анализ литературы по проблеме исследования.
2. Специализация известных методов теории чисел к решению задач компьютерной алгебры.
3. Доказательство утверждений, лежащих в основе алгоритмов теории чисел в компьютерной алгебре.
Новизна и теоретическая значимость исследования состоит в том, что проведено систематизированное изучение теории и практики применения методов теории сравнений в компьютерной алгебре.
Практическая значимость исследования определяется наличием в нем анализа задач компьютерной алгебры решаемых теоретико-числовыми методами, доказательством необходимых утверждений и построением на их основе конкретных алгоритмов решения задач.
Апробация результатов исследования выполнялась в виде предварительной защиты на кафедре математики и прикладной информатики ЕИ КФУ.
Структура работы определяется последовательностью решения задач исследования. Работа состоит из введения, семи параграфов, заключения, списка использованной литературы.
Компьютерная алгебра имеет дело в основном с целыми числами, употребляя соответствующие структуры данных. В ней основной целью является изучение алгоритмов аналитических преобразований с точки зрения их эффективной реализации в программах.
Одними из эффективных методов решения задач целочисленной математики являются методы модулярной арифметики.
В модулярной арифметике работают с остатками по модулю, т.е. вместо чисел рассматриваются их наименьшие неотрицательные вычеты. Таким образом, арифметика целых чисел реализуется через арифметику остатков.
Тема нашей выпускной квалификационной работы: «Задачи модулярной арифметики в компьютерной алгебре». Мы считаем, что тема работы достаточно актуальна, хотя она достаточно подробно освещена в специальной литературе. В настоящее время методы и средства модулярной арифметики используются для решения многих задач символьных вычислений в системах компьютерной алгебры.
Проблемой нашего исследования является исследование вопроса, как и какие методы теории чисел и теории сравнений используются в задачах компьютерной алгебры.
Целью нашего исследования является определение методов теории чисел, которые являются инструментом компьютерной алгебры.
Исходя из цели исследования, мы поставили перед собой следующие задачи:
1. На основе изучения теоретико-числовой литературы по теме исследования провести теоретический анализ проблемы.
2. Выделить задачи модулярной арифметики, при решении которых используются методы теории сравнений.
3. Провести доказательства теорем, лежащих в основе модулярных методов.
4. Описать классы чисел, применяемых в модулярной арифметике с целью решения её задач (числа Кармайкла и др.)
5. Приводить описание алгоритмов на языке Pascal, c контрольными примерами.
6. Составить сборник задач для самостоятельной работы по методам модулярной арифметики.
Объект исследования: математический аппарат модулярной арифметики.
Предметом исследования являются методы теории чисел и теории сравнений в компьютерной алгебре.
Для решения поставленных задач были использованы такие методы исследования:
1. Анализ литературы по проблеме исследования.
2. Специализация известных методов теории чисел к решению задач компьютерной алгебры.
3. Доказательство утверждений, лежащих в основе алгоритмов теории чисел в компьютерной алгебре.
Новизна и теоретическая значимость исследования состоит в том, что проведено систематизированное изучение теории и практики применения методов теории сравнений в компьютерной алгебре.
Практическая значимость исследования определяется наличием в нем анализа задач компьютерной алгебры решаемых теоретико-числовыми методами, доказательством необходимых утверждений и построением на их основе конкретных алгоритмов решения задач.
Апробация результатов исследования выполнялась в виде предварительной защиты на кафедре математики и прикладной информатики ЕИ КФУ.
Структура работы определяется последовательностью решения задач исследования. Работа состоит из введения, семи параграфов, заключения, списка использованной литературы.
✅ Заключение
Мы считаем, что в результате проведения данной работы нами решены поставленные перед собой задачи.
На основе изучения теоретико-числовой литературы по теме исследования проведен теоретический анализ проблемы.
Описаны теоретико-числовые методы, применяемые в компьютерной алгебре: функция Эйлера, теоремы Эйлера и Ферма, свойства сравнений, алгоритм Евклида и обобщенный алгоритм Евклида, линейное представление НОД, взаимно простые числа, обратные по модулю числа, вычисление степеней по бинарному алгоритму, теория простых чисел, в том числе больших, каноническое разложение и др.
Выделены задачи компьютерной алгебры, при решении которых используются методы теории чисел: вычисление мультипликативно обратных чисел, решение систем линейных сравнений, модулярный НОД многочленов, криптосистема с открытым ключом и др.
Разобраны доказательства теорем, лежащих в основе алгоритмов компьютерной алгебры с заполнением доказательств всех утверждений.
Описаны специальные классы чисел, применяемые в компьютерной алгебре с целью решения ее задач (Кармайкла и др.)
Теоретические выкладки и практические примеры показывают, что модулярные алгоритмы намного упрощают процесс работы с целыми числами.
В процессе обоснования их применения нам пришлось обратиться к различным понятиям и алгоритмам теории многочленов и теории чисел: алгоритм Евклида, простые и составные числа, обратимость чисел по модулю, китайская теорема об остатках и соответствующий алгоритм вычислений по ней, решение систем сравнений, неприводимые и примитивные многочлены, результант многочленов и его свойства.
На основе изучения теоретико-числовой литературы по теме исследования проведен теоретический анализ проблемы.
Описаны теоретико-числовые методы, применяемые в компьютерной алгебре: функция Эйлера, теоремы Эйлера и Ферма, свойства сравнений, алгоритм Евклида и обобщенный алгоритм Евклида, линейное представление НОД, взаимно простые числа, обратные по модулю числа, вычисление степеней по бинарному алгоритму, теория простых чисел, в том числе больших, каноническое разложение и др.
Выделены задачи компьютерной алгебры, при решении которых используются методы теории чисел: вычисление мультипликативно обратных чисел, решение систем линейных сравнений, модулярный НОД многочленов, криптосистема с открытым ключом и др.
Разобраны доказательства теорем, лежащих в основе алгоритмов компьютерной алгебры с заполнением доказательств всех утверждений.
Описаны специальные классы чисел, применяемые в компьютерной алгебре с целью решения ее задач (Кармайкла и др.)
Теоретические выкладки и практические примеры показывают, что модулярные алгоритмы намного упрощают процесс работы с целыми числами.
В процессе обоснования их применения нам пришлось обратиться к различным понятиям и алгоритмам теории многочленов и теории чисел: алгоритм Евклида, простые и составные числа, обратимость чисел по модулю, китайская теорема об остатках и соответствующий алгоритм вычислений по ней, решение систем сравнений, неприводимые и примитивные многочлены, результант многочленов и его свойства.
ИЛИ
Поиск аналога
📕 Список литературы
🛒 Оформить заказ
⚡ Работу высылаем в течении 5 минут после оплаты.