Тема: ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ ЭРМИТОВЫМИ СПЛАЙНАМИ

В современное время в вычислительной математике часто приходится прибегать к приближённым представлениям и восстановлениям функций.
Самым простым аппаратом приближения в непериодическом случае является алгебраический полином. Эти полиномы хорошо приближают достаточно гладкие функции. Кроме того, соответствующая теорема Вейерштрасса гласит, что любую непрерывную функцию со сколь угодно заданной точностью можно приближать алгебраическими полиномами. Однако на практике чаще всего такие полиномы приходится строить, задавая интерполяционные условия. В связи с этим отметим, что такие полиномы, называемые интерполяционными полиномами Лагранжа, не могут равномерно приближать произвольную непрерывную функцию. Это побуждает нас рассмотреть другой аппарат приближения.
Оказывается, если приближаемую функцию будем строить путём склейки алгебраических полиномов, то новая конструкция может обладать свойством равномерной сходимости, какова бы ни была непрерывная функция. Такие функции называются сплайн-функциями или, кратко, сплайнами (см., например, [1-9]). Поэтому именно их мы и будем использовать в качестве аппарата приближения.
Следует отметить, что обычные интерполяционные сплайны, т.е. построенные с использованием интерполяционных условий, не обладают свойством локальности; построение такого сплайна на одном частичном промежутке зависит от поведения этого сплайна на соседних частичных промежутках. Это означает, что будут возникать большие трудности на практике при построении классического интерполяционного сплайна. Поэтому задача построения и исследования сплайнов, обладающих свойством локальности и в то же время эффективно аппроксимирующих как непрерывные, так и функции с определенной степенью гладкости, является актуальной.
Целью выпускной работы является построение и исследование так называемых эрмитовых сплайнов, обладающих важным для практики свойством локальности. Нами исследуются не только классические эрмитовые сплайны (см., например, [1,4,9]), для построения которых требуется определенная гладкость функции на всем промежутке, но и модификации, которые эффективно приближают непрерывные функции.
Работа объемом 73 страницы состоит из введения, списка обозначений, трех глав, заключения и списка литературы, насчитывающего 9 наименований. В каждой главе применена своя нумерация теорем и формул.
Первая глава посвящена изучению эрмитовых сплайнов произвольной степени. Отдельно исследованы аппроксимативные свойства сплайнов нечетной и четной степени.
Во второй главе изучаются интерполяционные кубические эрмитовые сплайны, построенные лишь по информации о самой функции. Здесь аппроксимативные свойства исследуются отдельно для непрерывных и один, два и три раза непрерывно дифференцируемых функций.
Третья глава посвящена изучению аппроксимативных свойств интерполяционных параболических эрмитовых сплайнов, построенных лишь по информации о самой функции. Отдельно погрешность интерполяции изучается в случаях один и два раза непрерывно дифференцируемых и непрерывных функций.
Во всех случаях показана простота построения таких сплайнов и эффективность их применения при приближении различных классов функций.

Купить

В выпускной работе проведены систематические исследования локальных сплайнов, которые в литературе принято называть эрмитовыми. Изучен класс интерполяционных эрмитовых сплайнов нечётных и четных степеней. В частном случае введены интерполяционные эрмитовые кубические и параболические сплайны, которые могут быть построены и в случае лишь непрерывной на сегменте [а, Ь] функции. Исследованы аппроксимативные свойства введенных эрмитовых сплайнов для классов непрерывных и гладких (до определенной гладкости) функций. Полученные результаты свидетельствуют об эффективности введённых сплайнов при удачном выборе параметра h в определении сплайна и сетки узлов на сегменте [ а, Ь] .
Купить