Тема: Обобщенные числа Каталана и комбинаторные тождества

Числовая последовательность Каталана встречается во многих задачах комбинаторики. Числа этой последовательности названы в честь бельгийского математика 19 века Эжена Шарля Каталана, хотя сама последовательность была известна ещё Л. Эйлеру.
Видоизменение комбинаторных задач, рассмотренных Каталаном, приводит к появлению числовых последовательностей с близкими свойствами. Эти комбинаторные задачи и новые числовые последовательности условно называют каталановскими структурами и обобщенными числами Каталана. В качестве примера упомянем известную комбинаторную задачу Шрёдера разрезания многоугольника с помощью непересекающихся диагоналей. Ее решение представляет собой обобщение классической последовательности Каталана; числа этой последовательности называют малыми числами Шрёдера.
Актуальность темы состоит в том, что числа Каталана, являясь специальными числами натурального ряда, возникая из комбинаторных задач, порождают своим существованием целый ряд других комбинаторных проблем, требующих решения.
Цель квалификационной работы — изучение свойств обобщённых чисел Каталана и их применение при доказательстве различных комбинаторных тождеств, применение аппарата производящих функций в задачах перечисления обобщённых классических комбинаторных объектов.
Задачи работы:
- изучить свойства производящих функций, привести примеры использования производящих функций в задачах генерации комбинаторных объектов;
- рассмотреть классические определения чисел Каталана и исследовать обобщенные числа Каталана, объединив эти структуры;
- изучить различные комбинаторные интерпретации обобщённых чисел Каталана и получить некоторые комбинаторные соотношения для этих чисел;
- решить комбинаторные задачи на вычисление обобщённых чисел Каталана и с помощью системы компьютерной алгебры Maple проверить эти вычисления.
Теоретическая и практическая значимость темы состоит в возможности использования материалов квалификационной работы для проведения кружков и факультативов, а также для подготовки к олимпиадам по информатике и математике.
Купить

Таким образом, числовая последовательность Каталана интересна прежде всего тем, что появляется очень часто, самым неожиданным образом во многих задачах из различных областей математики, в первую очередь — при решении комбинаторных проблем.
В ходе исследования было рассмотрено несколько определений чисел Каталана и в результате объединения этих структур были получены обобщенные числа Каталана, рассмотрены их взаимосвязи. Нами было приведено несколько интерпретаций обобщенных чисел Каталана, последовательность обобщенных чисел Каталана; была получена производящая функция и формула для вычисления этих чисел.
Нами было подобрано и решено большое количество комбинаторных задач, в которых обнаруживаются обобщенные числа Каталана. Решения были проверены с помощью системы компьютерной алгебры Maple.
Таким образом, цель работы достигнута. Анализируя различные источники литературы, мы пришли к выводу, что числа Каталана актуальны и очень популярны в современной математике. Они часто встречаются на математических олимпиадах. К сожалению, выбранная тема зачастую остаётся за страницами школьного учебника, хотя она очень интересна и многогранна. Хочется отметить, что данная тема требует очень серьезного внимания и является не до конца изученной, несмотря на большое количество публикаций.

Купить