Цепные дроби и замощение полосы

Введение 3
§1. Цепные дроби и их свойства 6
1.1. История появления и развития цепных дробей 6
1.2. Алгоритм Евклида 8
1.3. Определение цепной дроби 10
1.4. Подходящие дроби 15
1.5. Свойства подходящих дробей 21
1.6. Число т 24
§2. Замощение полосы 26
2.1. Замощение полосы и цепные дроби 28
2.2. Замощение полосы доминошками 37
2.3. Ацтекский бриллиант 40
2.4. Замощение треугольниками 42
2.5. Решение задач на замощение 45
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 51
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Купить

Теория чисел - это наука о числовых системах, их связи и законы. При этом в первую очередь уделяется внимание числам натурального ряда, которые являются основой для построения других числовых систем: целых, рациональных и иррациональных, действительных и комплексных.
Теория чисел изучает числа с точки зрения их строения и внутренних связей, рассматривает такие возможности, как представить одни числа через другие, более простые по своим свойствам, между тем строгое логическое обоснование понятия натурального числа и его обобщений, а также с ним теория действий рассматриваются отдельно в основаниях арифметики.
Поскольку упомянутые вопросы изучаются в школьном курсе, они объединяются под одним названием арифметики, хотя, как наука, арифметика отождествляется с теорией чисел.
Следует отметить, что в последнее время бурно развиваются новые области математики. В связи с этим возрастает интерес к теории чисел.
Бесконечные цепные дроби, связанные с темой дипломной работы, относятся к одному из основных разделов теории чисел. Впервые цепные дроби были описаны в алгебре Бомбелли, вышедшей в 1572 году. Но современное обозначение для непрерывных дробей встречается у Катальди в 1613 году, только вместо знака «+» он писал « е t».
Большое применение цепные дроби получили, начиная с работ известного ученого Христиана Гюйгенса (1629-1695). Он рассматривал цепные дроби в связи с задачей подбора зубчатых колес, у которых отношение числа зубцов было возможно ближе к некоторому заданному числу. Число зубцов в таких колесах нельзя было взять слишком большим, так что приходилось отыскивать два сравнительно небольших натуральных числа, отношение которых было близко к заданному числу. Решение задач такого рода конечно же приводит к рассмотрению цепных дробей и подходящих к ним. Подбор таких зубчатых колес был нужен Гюйгенсу для того, чтобы построить модель, имитирующую движение планет в солнечной системе.
В данной работе рассмотрена связь цепных дробей с числами Фибоначчи и замощением полосы.
Предположим, что у нас есть два взаимно простых натуральных числаpи q,то есть два числа, не имеющих общих делителей, отличных от 1. Тогда существуют целые числа г и s такие, что рг + qs = 1 . Эти числа обычно ищутся с помощью алгоритма Евклида. Берется большее из чисел р и q и с остатком делится на меньшее. Остаток является суммой двух изначальных чисел с целыми коэффициентами. Затем берется меньшее число и остаток и с ними проделывается то же самое. Так как изначальные два числа были взаимно простые, то на каждом шаге мы будем получать два взаимно простых числа и алгоритм можно продолжать. В конце концов, мы дойдем до единицы. Оказывается, этот алгоритм можно формализовать и сделать более наглядным с помощью так называемых цепных дробей.
Любую дробь можно разложить в цепную дробь; при этом процесс завершится. Оказывается, точно так же можно разлагать в цепные дроби и иррациональные числа. В этом случае, очевидно, мы получим бесконечную цепную дробь, значение которой будет стремиться к какому-то иррациональному числу. Если вычесть из этой дроби единицу, а затем обратить, то получим снова эту же дробь. Обозначим ее через х. Тогда для нахождения значения х нужно решить уравнение. Теперь уже видно, что если обрубить эту дробь в каком-нибудь конечном месте, мы получим дробь, выражающую отношение двух соседних чисел Фибоначчи.
Кроме прочего, недавно было выявлено, что числа Фибоначчи Fnопределяют количество возможных путей покрытия шахматной доски размером п X 2 с помощью костяшек домино 1x2 . Это позволяет совершенно по-новому переосмыслить математическую интерпретируемость данных чисел, взамен вымышленной кроличьей саги-фантазии. Все помнят распространенные игры детства с домино, например, по выстраиванию различных рядов-полосок. Но вот, кому-то пришла здравая идея ещё раз подвигать с ребячества знакомые костяшки домино. И как оказалось, они во всей своей красе легко и непринужденно воспроизвели аддитивно- рекуррентный ряд чисел. Итак, возьмем доску размером п X 2 , а также п домино. Сколькими способами можно покрыть доску? То есть мы хотим пересчитать всевозможные варианты, считая все перестановки. Примечательно, что именно числа Фибоначчи Fn+± определяют количество вариантов покрытия шахматной доски п X 2 костяшками ( 1 X 2 ) -домино, как показано на рисунке ниже на примере пяти предметов.
В своей работе мы детально изучаем задачи, связанные с комбинаторной интерпретацией чисел Фибоначчи, и устанавливаем связи этих чисел с различными комбинаторными задачами замощениями. Мы также рассматриваем некоторые известные закономерности, связанные с этими числами, и показываем, как подобные разбиения могут быть использованы для вывода различных комбинаторных тождеств, приводим полезные обобщения задачи замощения.

Купить