Введение 3
2 Математическая формулировка задачи 7
3 Допущения 9
4 Вспомогательные задачи Дирихле и определение симметрии 12
5 Аналитические решения задачи Дирихле 16
5.1 Переформулировка задачи в терминах аналитических функций 16
5.2 Аналитические решения задачи Шварца 17
6 Объемные расходы 20
7 Обобщение аналитического подхода Пэкхэма и Шэлла на случай наклоненных труб 21
8 Численные вычисления 24
8.1 Горизонтальные трубы 26
8.2 Шесть характерных режимов течения для наклонных труб ... 28
9 Заключение 36
10 Приложение. Доказательство (6.2) и (6.3) 37
Список библиографических ссылок
Стратифицированные ламинарные течения в круглых трубах интенсивно изучались последние несколько десятилетий. Интерес обусловлен двумя причинами. Первая: есть возможность получить точное аналитическое решение уравнений Навье-Стокса, что всегда представляет интерес для теоретиков, вторая: есть много применений связанных, в основном, с эффектом жидкой смазки водой, во время перекачки нефти по круглым трубопроводам.
Первыми кто математически промоделировал этот смазочный эффект были [T. W. F. Russsel, M. E. Charles,1]. Для двухфазного ламинарного концентрически-кольцевого течения в горизонтальной трубе было найдено простое аналитическое течение, схожее с классическим решение уравнений Навье-Стокса для течений Хайгена-Пуазейля. Очевидно, из-за сил притяжения и капиллярных сил, могут существовать более сложные конфигурации интерфейсов, которые были изучены в большом количестве последующих работ, типы интерфейсов которых представлены далее:
1. Концентрические круглые интерфейсы. [как в 1].
2. Эксцентричные круглые интерфейсы. Интерфейс- это замкнутая окружность, эксцентрированная по отношению к стенке трубы.
3. Плоские. Интерфейс- это горизонтальный сегмент, соединяющий две симметричные тройные точки на левой и правой стенке трубы.
4. Круговые. Интерфейс- это круговая дуга, соединяющая симметричные тройные точки (см Рис.1b).
5. Полностью эксцентричные круговые интерфейсы. Интерфейс является замкнутой окружностью, которая касается стенки круговой трубы.
6. "Естественные”. Форма интерфейсов определена дифференциальными уравнениями, полученными из формулы Юнга-Лапласа.
Важно отметить, что точные аналитические решения могут быть получены только для интерфейсов типов 1-5, когда кривизна интерфейса постоянна. Такие решения были построены [2] и [3] (Горизонтальные трубы, тип 3), [4] (горизонтальные трубы, тип 2 и 4), [5] (горизонтальные трубы, тип 4), [J. Rovinsky, N. Brauner, D. Moalem Maron, 6](горизонтальные трубы, тип 5), [Biberg, D., Halvorsen, G, 7]и [Amos Ullmann, A Goldstein, M Zamir, N Brauner,
8] (наклонные трубы, тип 3), [HERBERT E. Huppert, MARK A. Hallworth,
9] (вертикальные трубы, тип 1), и [Ayelet Goldstein, Amos Ullmann, Neima Brauner, 10](наклонные трубы, тип 4 и 5). Главным методом получения таких аналитических решения было переписать основные уравнения Навье- Стокса в биполярной системе координат и решить их, применяя преобразование Фурье. В результате, поле скоростей выражается через осциллирующие несобственные интегралы с одним бесконечным пределом.
Для интерфейсов типа 6, точные аналитические решения не могут быть построены. Применяют численно-аналитические методы: [метод Релея-Ритца 11] и [Метод граничных элементов 12].
Также необходимо отметить, что для горизонтальных труб и наклоненных вниз труб, возможны только однонаправленные течения, но для труп наклоненных вверх, возможно разнонаправленные течения двух фаз.
Почти во всех представленных выше работах простые аналитические решения, выраженные в элементарных функциях были получены только для простейших форм интерфейсов типа 1 [см 1,9]. Но также существует другой интерфейс, для которого такие решения возможно построить, называемый диаметральным (интерфейс типа 3, который делит трубу пополам). Такие решения представлены в [H. S. Yu, E. M. Sparrow,13] и [B. A. Packham, R. Shail, 14]. Таким образом, до сих пор известны только два решения, выраженных в элементарных функциях, и оба решения построены для простейших форм интерфейсов(тип 1 и диаметральный).
Для нас статья [14] представляет особый интерес. В самом деле, эти авторы первыми применили понятие симметрии для изучения стратифицированных течений в трубах. Для горизонтальных труб с диаметральным интерфейсом, они построили точное решение выраженное через две функции: одна задавала решение для течения одной жидкости во всей трубе, а другая задавала это же в половине трубы, ограниченной интерфейсом.
В этой работе, используя понятие обобщенной симметрии(симметрия относительно дуги окружности) будет расширена идея [14] на весь класс интерфейсов, которые имеют форму дуги и ортогональны к стенкам трубы (см Рис.1b). Вообще говоря, наше решение может быть применено только к горизонтальным трубам, но показано, что решение Пэкхэма и Шэлла для диаметральных интерфейсов, которое изначально было построено для горизонтальных труб и однонаправленных течений, после небольших изменений может быть обобщено на случай наклонной трубы, с возможностью разнонаправленного течения двух фаз.
Содержание данной магистерской диссертации опубликовано в журнале Applied Mathematical Modelling(квартиль Q1 в системе WoS) [15].
В этой работе изучены установившиеся ламинарные течения в круглых трубах и разработана идея Пэкхема[14], первого кто стал использовать симметрию частей труб относительно интерфейса. Эти авторы рассмотрели только плоские интерфейсы, и для круглых труб такая симметрия приводит к интерфейсам совпадающим с горизонтальным диаметром среза трубы. В отличии от Пэкхэма и Шэлла, мы представили обобщенную симметрию для круглых интерфейсов, которые для круглых труб приводят к семейству интерфейсов ортогональным к стенкам трубы. Физически, такое геометрические ограничение означает что свойства смачивания обеих фаз одинаковы. Для этого семейства мы нашли точные аналитические решения в элементарных функциях, как и в [14], эти решения верны только для горизонтальных труб. Однако, мы показали что точное аналитическое решение Пэкхэма и Шэлла, изначально построено для круглой горизонтальной трубы с диаметральным интерфейсом, после маленького изменения, может быть обобщена на наклонные трубы.
Вычисления для наклонных труб, которые мы можем выполнить только для диаметральных интерфейсов, явно показывает шесть важных характерных режимов течения введенных в [8.2]. Эти режимы связаны с углом наклоны трубы 3(Параметр M) и проясняют его влияние на переход от однонаправленных течений, к разнонаправленным в направлении оси С и обратно, но уже против направления оси С.
