ВВЕДЕНИЕ 3
Глава 1. Алгоритм построения эмпирической оценки 5
Глава 2. Модификации оценки 25
Глава 3. Сравнение оценок 47
ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ 49
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 50
ПРИЛОЖЕНИЕ А
Оценки с равномерно минимальным d-риском рассматривались в ряде работ в качестве некоторой байесовской альтернативы несмещенным оценкам с равномерно минимальным риском. Так же было доказано, что оценки максимального правдоподобия имеют асимптотически минимальный d-риск. В d-апостериорном подходе из всех экспериментов выбираются те, которые принимают одинаковое решение, и значение средних потерь считается только по ним.
Этот подход применяется тогда и только тогда, когда значение параметра в экспериментах — это реализация случайной величины v, имеющей некоторое априорное распределение. Когда априорное распределение известно, для построения оценки с равномерно минимальным d-риском минимизируется апостериорный риск по значениям выборки. Но это возможно только в случае существования достаточной статистики размерности параметра. Аналогично и в случае построения эмпирической оценки с равномерно минимальным d-риском.
В текущей работе рассматривается дискретное экспоненцианальное семейство с функцией плотности
f (x 0, n) = h(x) 0xb(0) x X c {0,1,2,...}, 0 R+, h(x)>0 Vx e X
Так же реализуется метод построения эмпирической оценки с равномерно минимальным d-риском по архиву данных объёма n Х[п], базированный на минимизации оценки апостериорного риска. Показывается, что минимум оценки апостериорного риска сходится по вероятности к минимальному значению d-риска.
Рассматривается проблема при построении эмпирической оценки с равномерно минимальным d-риском. Особенно при маленьких объёмах архива оценку построить не получается для многих значений наблюдений. В связи с этой проблемой целью данной работы является модификация алгоритма построения оценок. Предлагается два варианта модификаций, которые основаны на выборе тех значений наблюдений, не позволяющих получить оценку для других наблюдений, и их удалении. Один из алгоритмов отыскивает те элементы архива, при которых оценка апостериорного риска Rn(dx)опускается ниже нуля. Принцип второго заключается в поиске и удалении элементов архива, частота которых очень мала. Так же производится сравнение двух методов модификаций оценок — сопоставляются результаты количества построенных оценок и средние значения оценок.
Для получения всех необходимых вычислений и построения графиков использовался математический пакет Wolfram Mathematica 10.4. Дополнительные вычисления производились в программе MS Excel.
Была написана программа, реализующая алгоритм построения графиков оценок апостериорного риска Rn(dx),основанных на архивах объёмов n, и функций xn(d).
При некоторых значениях наблюдений параболы перекрывают параболы при всех остальных г ё X. Следовательно, оценку построить мы можем только для этих значений. При этом было замечено, что вероятность этих наблюдений очень маленькая. В связи с этим вопросом в данной работе рассматривается два способа модификации оценки.
Первый метод заключается в удалении тех элементов архива, при которых оценка апостериорного риска Rn(dx)опускается ниже нуля.
Второй вариант - удаление и элементов архива, частота которых не превышает некоторого малого значения z (то есть те элементы архива, при которых оценка апостериорного риска Rn(dx) опускается ниже нуля, удаляются тоже).
Итак, чтобы построить эмпирическую оценку с равномерно минимальным d-риском, рекомендуется использовать вторую модификацию алгоритма при z = 1%, то задача состоит в поиске и удалении элементов в архиве с отрицательной оценкой апостериорного риска и однопроцентной частотой. Как было замечено, это позволяет нам найти более точные оценки при больших количествах значений текущих наблюдений, что и являлось целью нашей работы.
