ВВЕДЕНИЕ 3
1 Постановка задачи, построение разностных схем 6
1.1 Постановка задачи 6
1.2 Построение разностных схем 7
2 Описание тестовых задач 15
2.1 Построение первой тестовой задачи 15
2.2 Построение второй модельной задачи 18
3 Результаты численных экспериментов 22
3.1 Исследование явной разностной схемы 23
3.2 Исследование неявной разностной схемы с опусканием нелинейности
на нижний слой 29
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 39
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 39
ПРИЛОЖЕНИЕ А
Дифференциальные уравнения, описывающие реальные физические процессы, или уравнения математической физики, могут быть слишком сложными для решения аналитическими методами. В таком случае применяются численные методы. Одним из наиболее универсальных, эффективных, и потому широко используемых методов является метод конечных разностей. Он заключается в том, что непрерывная среда заменяется дискретной, а исходная дифференциальная задача приближается системой сеточных аппроксимаций.
На сегодняшний день теория разностных схем является достаточно раз-витой. Основные её положения освещены, например, в монографиях [1]-[6].
В настоящей диссертации в заданной области Q рассматривается задача нелинейной нестационарной фильтрации несжимаемой жидкости, подчиняющейся закону v= — g (|Vu|) Vu, где v - скорость фильтрации, и - давление, g - нелинейная непрерывная функция, определяющая закон фильтрации с предельным градиентом 3.
Главной особенностью этой задачи является то, что пространственный оператор в параболическом уравнении, описывающем процесс фильтрации, вырождается в той части области Q, где модуль градиента давления меньше заданного значения 3 (множество таких точек называется застойной зоной). Вследствие этого функция давления представляет собой волну с конечной скоростью распространения.
Граница области застойной зоны заранее неизвестна и вычисляется в ходе решения задачи.
Задачам стационарной нелинейной фильтрации посвящены работы [7], где, в частности, рассматривается случай фильтрации с предельным градиентом. Здесь же доказано, что скорость фильтрации vпри заданном давлении определяется единственным образом.
В обзорах [9], [10] изучены вопросы существования и единственности решения задачи нестационарной фильтрации с предельным градиентом, описываемой параболическим уравнением, допускающим вырождение в точках застойной зоны. Рассмотрены двухслойные (в том числе, явные и неявные) разностные схемы, исследована их разрешимость и сходимость. В работах [11], [12] проведено сравнение качества этих схем, при этом оценка неявной схемы дана в совокупности с различными итерационными процессами её численной реализации.
Кратко опишем содержание данной диссертации.
В п.1 первой главы приведена математическая постановка дифференциальной задачи, описывающей процесс нестационарной нелинейной фильтрации с предельным градиентом. В п.2 даётся определение обобщённой постановки данной задачи, на основе которой в дальнейшем строятся разностные методы вычисления приближённого решения. В работе рассматривается явная разностная схема, т.е. схема, у которой решение на любом временном слое выражается явным образом через решение, полученное на предыдущем слое, а также неявная разностная схема с опусканием нелинейности на нижний слой. Аппроксимация пространственных операторов осуществляется с помощью метода сумматорных тождеств (см. [13]).
Во второй главе приводятся постановки двух одномерных задач, для которых в работах [14], [15] найдены автомодельные решения. Опираясь на результаты этих работ, строятся две тестовые двумерные задачи, используемые в дальнейшем для тестирования созданных алгоритмов.
Третья глава содержит результаты численных экспериментов, полученных при решении тестовых задач построенными в первой главе приближенными методами. Сделаны выводы о корректности и целесообразности применения полученных разностных схем.
Кроме того, в главе 3 описывается ход программной реализации вычислений, которые были выполнены в системе MatLab. Листинги программ приведены в приложении А.
Практические расчёты показали, что явная схема условно устойчива, причём условие устойчивости имеет вид — < 0.5. При увеличении шага по h2 времени погрешности, внесённые в начальный момент времени, неограниченно возрастали. Неявная схема лишена этого недостатка. Например, в случае без поворота при т =6.8493e — 04, h = 0.033 явная схема для первой задачи расходится, а неявная с опусканием нелинейности на нижний слой даёт удовлетворительный результат (максимальная погрешность равна 3.4076e-04).
Было также выяснено, что неявная схема имеет тот же порядок погрешности аппроксимации, что и явная - О(т + h2).
Уделено внимание вопросу быстродействия построенных разностных методов. Неявная разностная схема с опусканием нелинейности на нижний слой работает несколько быстрее.
Одной из главных сложностей решения исходной задачи было то, что область застойной зоны, в которой скорость фильтрации равна нулю, за¬ранее неизвестна. Поэтому важно, чтобы применяемые разностные методы точно передавали фронт движения жидкости. Эксперименты для обеих тестовых задач с использованием явной схемы показали, что при соблюдении полученного условия устойчивости метод не искажает границ застойных зон. Приближённое решение, найденное по неявной схеме с опусканием нелинейности на нижний слой, практически при любых шагах по временной сетке обращалось в нуль тех же точках области, что и решение тестовых задач, рассмотренных в главе 2.
Таким образом, с помощью проведённых численных экспериментов была показана корректная работа построенных разностных схем. Обе из них могут быть использованы для решения задачи нестационарной нелинейной фильтрации с предельным градиентом.
Помощь студентам и аспирантам в выполнении работ от наших партнеров
