МЕТОД ДЕКОМПОЗИЦИИ ДЛЯ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ ФИЛЬТРАЦИИ С ПРЕДЕЛЬНЫМ ГРАДИЕНТОМ

ВВЕДЕНИЕ 3
1 Построение и исследование сходимости итерационного процесса для
нелинейных задач теории стационарной фильтрации 8
1.1 Постановка задачи 8
1.2 Построение и исследование сходимости итерационного процесса 13
2 Построение и исследование конечномерных аппроксимаций для
стационарных нелинейных задач теории фильтрации 22
Построение конечномерных аппроксимаций 22
3 Численные эксперименты 34
3.1 Эксперимент 1 34
3.2 Эксперимент 2 35
3.3 Эксперимент 3 36
3.4 Эксперимент 4 37
3.5 Эксперимент 5 38
3.6 Эксперимент 6 39
3.7 Эксперимент 7 40
3.8 Эксперимент 8 41
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 42
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 44
Приложение А 47
Приложение Б 51
Приложение В 53
Приложение Г 54
Приложение Д

Купить

Актуальность работы. В настоящее время сеточные методы являются одним из самых распространенных средств решения задач математической физики [1], [2]. Многие задачи задаются уравнениями или неравенствами с частными производными. Именно поэтому особое внимание уделяется способам их решения, и так как описанные задачи являются нелинейными, собственно, поэтому для их решения используется сеточные методы [3], [4]. Прежде всего, из числа наиболее развитых областей теории сеточных методов, по праву относится теория метода конечных разностей и метода конечных элементов. Разнообразные нюансы теории данных методов исследованы во множественных трудах.
При описании действующих задач из механики, физики и других областей [5] приводит к потребности учета нелинейных эффектов. Поэтому это способствует значительному усложнению построения и теоретической оценки качества сеточных аппроксимаций, которые соответствуют краевым задачам. Существенные проблемы, безусловно, появляются при использовании наиболее эффективных итерационных методов для решения нелинейных уравнений математической физики.
В настоящее время довольно хорошо исследованы сеточные схемы, а также итерационные методы для нелинейных задач с сильно монотонными операторами [6], [7].
В работе разбираются задачи, при описании которых, задаются уравнения эллиптического типа и неравенства с монотонными операторами [8], [9]. Эти задачи относятся к задачам теории стационарной фильтрации несжимаемой жидкости с предельным градиентом [10], [11].
Вопросы изучения разностных методов решения нелинейных стационарных задач теории фильтрации несжимаемой жидкости, следующей разрывному закону фильтрации с предельным градиентом, были рассмотрены во многих работах [11], [12], [13], [14], в которых рассматриваемые задачи были сформулированы, как вариационные неравенства с разрывными монотонными операторами, а также задач поиска минимума выпуклых функционалов. Также в этих работах исследованы вопросы разрешимости использованных в данной работе задач и аппроксимации разрывного закона непрерывности, изучены построение разностных схем, доказаны теоремы существования и сходимости решений разностных схем и предложены итерационные методы численного решения разностных схем.
Научная новизна выпускной работы заключается в построении и исследовании итерационного процесса для решения нелинейных стационарных задач фильтрации с предельным градиентом. Также построена разностная схема и исследована ее сходимость.
Цель работы заключается в исследовании методов декомпозиции для численного решения нелинейных стационарных задач теории фильтрации с предельным градиентом.
Методы исследования. В текущей работе данные задачи формулируются равно как задачи поиска экстремальных значений выпуклых функционалов. Наиболее продуктивными методами при исследовании рассматриваемых в работе уравнений являются методы выпуклого анализа и теория монотонных операторов. При построении аппроксимаций использовались методы сумматорных тождеств и конечных элементов
Практическая значимость данной работы заключается в использовании полученных результатов при решении некоторых задач нелинейной стационарной фильтрации.
Работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и листинга программы.
В первой главе рассматривается построение и исследование итерационного процесса для нелинейной стационарной задачи теории фильтрации [10], [15]. В первом параграфе первой главы ставится постановка задачи фильтрации несжимаемой жидкости следующей разрывному закону с предельным градиентом. Закон фильтрации имеет следующий вид:
v(u)= -^(|Рн|)2)Рн, где v - скорость фильтрации, и - давление, 9(f2)f - функция является разрывной в случае f = Д, которая определяет закон фильтрации.
Таким образом, задача (4) является постановкой задачи фильтрации, определяющей давление, а задача (6), определяющая скорость фильтрации.
Также отметим, что задача (4) является эквивалентной вариационному неравенству
(Аи, д — u)v+ G(Ag) — G(Au)>0, Уд е V. (8)
Поэтому под решением дифференциальной задачи фильтрации следующей разрывному закону с предельным градиентом будем понимать и е V = №р(1)(А), которая является решением следующего вариационного неравенства
(Аи, д —u)v + F1 (Ад) — Fi(Аи) >(f, д — u)v, Уд е V, (9)
Во втором параграфе первой главы происходит построение итерационного процесса, который состоит из 3 шагов [17]. На первом шаге решается краевая задача Дирихле
—As = f — Au(k>+ div(A(k— ry(k))+ rAu(k xEQ
s(x) = 0, x е F,
и затем необходимо положить u(k+1= u(k)+ rs.
На втором шаге вычисляется y(k+1)
y(k+1— g*(lql2)q, q = rAu(k+1) + A.(k
Третий шаг в себя включает вычисление A.(k+1по формуле
A(k+1)— ДЮ + r(Vu(k+1— y(k+1)).
Во второй главе настоящей работы рассматриваются вопросы по построению конечномерных аппроксимаций для задачи (9), строящиеся с использованием метода конечных элементов. Также в этой главе доказывается слабая сходимость последовательности решения схемы МКЭ для задачи (8) к некоторому решению дифференциальной задачи, если р > 1. Если рассмотреть регуляризованную функцию, удовлетворяющей условию равномерной монотонности, возможно доказать также сильную сходимость последовательности ип решений задачи (6).
В третьей главе текущей исследовательской работе рассматриваются численные эксперименты по выявлению оптимальных итерационных параметров т, г для модельных задач фильтрации.
В приложении размещен листинг программы.
Программа была реализована с использованием средств программного комплекса MATLAB, поскольку эта платформа является одним из наиболее удобных инструментов для проведения вычислений и построения графиков.
Результаты методических расчетов проведенных в программном комплексе MATLAB доказывают эффективность предложенного алгоритма.

Купить