В прошлом математики концентрировали внимание на множествах и функциях, для которых могут быть применены методы классических вычислений. Функции, которые не являются достаточно гладкими или регулярными, часто игнорировались как «патологические» и не стоящие изучения. В последние годы отношение к негладким функциям (или нерегулярным множествам) изменилось, так как нерегулярные функции (множества) обеспечивают значительно лучшее представление многих природных явлений, чем те, которые дают объекты классической геометрии.
Изучением таких нерегулярных множеств занимается фрактальная геометрия. Как отмечает Б. Мандельброт, новая геометрия способна описать многие из неправильных и фрагментированных форм в окружающем нас мире и породить вполне законченные теории [Мандельброт, с. 13]. Появление компьютеров и компьютерной графики привело к исследованию нетрадиционных геометрических объектов во многих областях естественных наук.
На основании всего вышесказанного можно заключить, что выбранная тема курсовой работы «Фрактальные кривые» является актуальной.
Цель исследования – изучение основных видов фрактальных кривых.
Для достижения поставленной цели необходимо решить ряд задач:
определить понятие «фрактал»;
дать классификацию фракталов;
изучить основные виды фрактальных кривых.
Объект исследования – фрактальная геометрия. Предмет исследования – фрактальные кривые. Методы исследования – анализ, обобщение и систематизация имеющегося материала.
Теоретическую базу исследования составили работы Б. Мандельброта, А.Д. Морозова и др. Курсовая работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка использованных источников.
Основой фрактальной геометрии является идея самоподобия. Она выражает собой тот факт, что иерархический принцип организации фрактальных структур не претерпевает значительных изменений при рассмотрении их через микроскоп с различным увеличением. В результате эти структуры на малых масштабах выглядят в среднем так же, как и на больших.
Одной из основных характеристик фрактальных множеств также является размерность. Существует несколько способов нахождения размерности фракталов. Выбор того или иного способа зависит от вида множества, от особенностей его построения. Отличительной особенностью фракталов является дробное значение фрактальной размерности, но бывают и исключения.
Еще одной отличительной характеристикой фрактальных множеств является то, что они могут быть построены исключительно с помощью компьютерных средств. Это обстоятельство не давало возможности развития идеям фрактальной геометрии в XIX веке, когда в трудах ученых появились первые фрактальные объекты, такие как множество Кантора.
В зависимости от способа построения фракталы подразделяются на геометрические, алгебраические и стохастические. Наиболее простые из фракталов – геометрические. Фракталы этого класса самые наглядные. Алгоритм построения геометрического фрактала в общем случае таков. Прежде всего, нам нужны две подходящие геометрические фигуры, назовем их основой и фрагментом. На первом этапе изображается основа будущего фрактала. Затем некоторые ее части заменяются фрагментом, взятым в подходящем масштабе, – это первая итерация построения. Затем у полученной фигуры снова некоторые части меняются на фигуры, подобные фрагменту, и т.д. Если продолжить этот процесс до бесконечности, то в пределе получится фрактал.
