Тема: ПРОЕКТИРОВАНИЕ И АНАЛИЗ КРИПТОГРАФИЧЕСКИХ МЕТОДОВ НА ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ КРИВЫХ

В наши дни средства криптографической защиты играют все более важную роль в компьютерных системах, применяемых в сфере финансового и банковского обслуживания. Одной из основных причин роста интереса к защите шифрованием является увеличение количества финансовых операций, которые проводятся через сети интернет, применение шифрования позволяет обезопасить проведение таких операций. Но возрастание денежных сумм, которые участвующих в этих операциях, накладывают более высокие требования к безопасности, что требует создания новых систем и протоколов шифрования, обеспечивающих необходимый уровень защищенности.
Одним из методов шифрования, применяемых в настоящий момент, является шифрование на эллиптических кривых. Идея применения кривых в криптографии была предложена в 1985 году Нилом Коблинцом и Виктором Миллером. Основным отличием эллиптической криптографии от других систем с открытым ключом, таких как RSA, является введение операции умножения точки эллиптической кривой на число. Преимуществом таких систем является небольшая длина ключа, поскольку для взлома ключа необходимо произвести операцию дискретного логарифмирования на кривой, для данной задачи не существует субэкспоненциальных алгоритмов. То есть, имея произведение точки на кривой и целого числа, множитель можно восстановить только за экспоненциальное время. Вычислительная сложность задачи дискретного логарифмирования на кривой позволяет обеспечивать высокий уровень безопасности при использовании ключа значительно меньшей длины, чем в других системах шифрования. Например, 160-битный ключ обеспечивает такой же уровень безопасности, что и RSA с ключом длинной 1024 бита.

Купить

Подводя итоги, можно сказать, что в результате проделанной работы удалось достигнуть поставленных целей, а именно - реализовать алгоритм создания и проверки цифровой подписи ECDSA и алгоритм Диффи- Хеллмана на эллиптических кривых. Были реализованы кривые в канонической форме Вейерштрасса, в форме Монтгомери и скрученные кривые Эдвардса в различных системах координат. В результате проведения исследований были выбраны кривая и система координат с наилучшими показателями: для операции сложения - это кривые в канонической форме Вейерштрасса в якобиановых координатах, для операции удвоения и умножения это скрученные кривые Эдвардса в расширенных координатах. Наихудшие результаты показали все типы кривых в аффинных координатах, поскольку для выполнения любой операции требуется поиск обратного элемента в поле.
Были реализованы переходы кривых из одного вида в другой, среди них оптимальными являются переходы из кривой в форме Монтгомери в кривую в форме Эдвардса и обратно, поскольку для выполнения этой операции требуется всего одна операция нахождения обратного элемента в поле, что выполняется довольно быстро при используемых размерах поля.
Реализация алгоритма цифровой подписи ECDSA в различных системах координат, позволяет сделать вывод, что наилучшими характеристиками для генерации подписи и проверки обладают скрученные кривые Эдвардса в расширенных и в инвертированных координатах. Результаты исследования алгоритма Диффи-Хеллмана так же говорят о превосходстве скрученных кривых Эдвардса в расширенных координатах.
Проанализировав все полученные результаты, можно с уверенность сказать, что скрученные кривые Эдвардса показывают лучшие результаты во всех тестах, особенно кривые в расширенных координатах, и являются универсальными в применении, в отличие от кривых Монтгомери, что делает их оптимальными для применения в эллиптической криптографии.

Купить