ВВЕДЕНИЕ 4
ГЛАВА 1. ГРУППОВОЙ АНАЛИЗ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 7
1.1. Однопараметрические группы преобразований 7
1.1.1. Определение и примеры 7
1.1.2. Уравнение Ли 9
1.1.3. Инварианты. Инфинитезимальный оператор группы 11
1.1.4. Инвариантные уравнения 13
1.2. Группы, допускаемые дифференциальными уравнениями 15
1.2.1. Предварительное обсуждение на примере теплопроводности 15
1.2.2. Обозначения 16
1.2.3. Группы точечных преобразований. Формулы продолжения ... 18
1.2.4. Определяющие уравнения 20
1.2.5. Алгебры Ли и многопараметрические группы 24
1.3. Интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений,
допускающих группу 27
1.3.1. Интегрирующий множитель 27
1.3.2. Замена переменных 29
1.3.3. Уравнения второго порядка 29
ГЛАВА 2. ПРИМЕНЕНИЕ ИНВАРИАНТОВ ЛАПЛАСА К ЗАДАЧЕ
ГРУППОВОЙ КЛАССИФИКАЦИИ УРАВНЕНИЙ БИАНКИ 33
2.1. Уравнение Бианки второго порядка 33
2.1.1. Постановка задачи 33
2.1.2. Инварианты Лапласа 35
2.1.3. Ряд Лапласа 36
2.1.4. Определяющие уравнения 38
2.1.5. Анализ общего решения 40
2.1.6. Классификационная теорема 43
2.2. Уравнение Бианки третьего порядка 46
2.2.1. Построение определяющих уравнений 47
2.2.2. Выделение некоторых классов уравнений Бианки третьего
порядка 52
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 63
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Актуальность исследования. Значительную роль в теориях аппроксимации и отображений, при изучении процессов вибрации и в других задачах механики и математической физики играют уравнения Луиджи Бианки, выдающегося представителя дифференциальной геометрии в Италии. Он известен многочисленными трудами, способствовавшими разработке методов выражения геометрических инвариантов (т. е. величин, значения которых не зависят от выбора координат) через так называемые дифференциальные параметры.
Для исследования уравнений Бианки применяется метод группового анализа дифференциальных уравнений на основе инвариантов Лапласа. Групповой анализ является мощным инструментом при рассмотрении нелинейных уравнений и краевых задач. Он возник как научное направление в работах выдающегося математика XIX в. Софуса Ли (1842-1899) и служил главной составной частью его важнейшего творения - теории непрерывных групп. Первоначальная основная задача группового анализа - вопрос о разрешимости в квадратурах дифференциальных уравнений - была практически решена самим Ли, но не нашла широкого применения. Хотя подход Ли к дифференциальным уравнениям ещё использовался его ран-ними последователями, позже исследования в этом направлении прекратились, и надолго.
Интерес к групповому анализу возродил Л.В.Овсянников, показав в своих работах 1958-1962 гг., что главное орудие, которым пользовался Ли,
- описание свойств дифференциальных уравнений при помощи допускаемых групп - обнаруживает свою силу не только в вопросах о полной раз-решимости, но и при построении отдельных классов точных решений и качественном исследовании дифференциальных уравнений механики и математической физики.
Цель исследования: групповой анализ и групповая классификация уравнений Бианки на основе определяющих уравнений, записанных в тер-минах инвариантов Лапласа.
Задачи:
- рассмотреть и изучить однопараметрические группы преобразований, уравнение Ли, инварианты, инфинитезимальный оператор группы, инвариантные уравнения; группы точечных преобразований, формулы продолжения, определяющие уравнения, алгебры Ли и многопараметрические группы, методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений (метод интегрирующего множителя, замены переменных);
- провести групповой анализ уравнений Бианки второго и третьего по-рядка: построить определяющие уравнения с использованием инвариантов Лапласа, произвести анализ общего решения, осуществить групповую классификацию уравнений третьего порядка и составить таблицы коммутаторов для каждого класса.
Объект исследования: обыкновенные дифференциальные уравнения, допускающие группу.
Предмет исследования: уравнения Луиджи Бианки второго и третье¬го порядка, метод группового анализа.
Методы исследования. Используется метод группового анализа дифференциальных уравнений, методы теории дифференциального и интегрального исчисления.
Научная новизна. Проведена групповая классификация уравнений Бианки второго и третьего порядка на основе определяющих уравнений, записанных в терминах инвариантов Лапласа, и построены таблицы коммутаторов уравнений Бианки третьего порядка.
Значимость работы:
- изложены основы метода группового анализа дифференциальных уравнений;
- применены инварианты Лапласа к задаче групповой классификации уравнений Бианки;
- построены отдельные классы уравнений Бианки и для них составлены таблицы коммутаторов.
В данной работе были получены следующие результаты:
1) рассмотрены и изучены основы группового анализа дифференциальных уравнений:
- однопараметрические группы преобразований;
- уравнение Ли, инварианты, инфинитезимальный оператор группы, инвариантные уравнения;
- группы, допускаемые дифференциальными уравнениями;
- формулы продолжения, определяющие уравнения, алгебры Ли, многопараметрические группы;
- методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений, допускающих группу (методы интегрирующего множителя, замены переменных);
2) проведен групповой анализ уравнений Бианки второго и третьего по-рядка:
- составлены определяющие уравнения;
- проведён анализ общего решения;
- осуществлена групповая классификация уравнений Бианки третье¬го порядка и составлены таблицы коммутаторов для каждой алгебры Ли.
Таким образом, был проведён групповой анализ уравнений Бианки второго и третьего порядка на основе определяющих уравнений, записанных в терминах инвариантов Лапласа.
