Введение 3
Глава 1. Метод перевала 5
1.1. Вводные замечания 5
1.2. Метод перевала 7
Глава 2. Цилиндрические функции 20
2.1. Определение и взаимосвязь цилиндрических функций 20
2.2. Свойства гамма-функции 20
2.3. Степенной ряд для функций Бесселя 21
2.4. Реккурентные формулы 22
2.5. Функции Бесселя полуцелого порядка 23
2.6. Интегральное представление функций Бесселя 23
2.7. Функции Ханкеля. Интегральное представление 26
2.8. Связь функций Ханкеля и Бесселя. Функция Неймана 28
Глава 3. Асимптотика цилиндрических функций 30
3.1. Линейная независимость цилиндрических функций 30
3.2. Асимптотика цилиндрических функций при больших значениях аргумента 32
3.3. Цилиндрические функции чисто мнимого аргумента. Функции Инфельда и Макдональда 34
3.4. Асимптотика функции In(z) при nцелом, z ^ ос 37
3.5. Функция Бесселя нецелого аргумента при z ^ с 38
3.6. Асимптотика Ix(x)при x ^ +с 39
3.7. Асимптотическая формула для цилиндрической функции первого ро¬да целого порядка n 40
Заключение 44
Список литературы
Актуальность проблемы. Многочисленные задачи математики, математической физики, механики, техники приводят к необходимости исследовать интегралы вида:
F(X) = ! p(z) eXf (z)dz,(1.1)
где p(z)и f (z) - функции комплексной переменной z, аналитические в некоторой области (, содержащей кривую C, которая может быть и неограниченной; X — большое положительное число.
Редки случаи, когда такие интегралы явно вычисляются. Единственное, что остается - это попытаться воспользоваться асимптотическими методами.
Существует множество различных асимптотических методов: метод Лапласа, асимптотические сравнения и асимптотическая эквивалентность функций, метод стационарной фазы, метод возмущений, метод перевала и другие.
В дипломной работе мы рассмотрим метод перевала. Метод перевала широко применяется для построения асимптотических разложений некоторых контурных интегралов от функций комплексной переменной.
Основная идея метода заключается в такой деформации контура C, чтобы подынтегральная функция была велика по абсолютной величине на как можно более коротком участке. Одновременно при перемещении по такому же контуру подынтегральная функция не испытывает осцилляций.
Действительно, разобьем фазовую функцию на действительную и мнимую части f (z) = u(z) + iv(z), z = x + iy;.Поскольку f (z) — аналитическая функция, для u(x, y)и v(x, y)выполняются соотношения Коши — Римана
f'(z0) = 0, одна из вторых частных производных положительна, например, uxx> 0, то вторая - отрицательна, uyy< 0. Значит стационарная точка представляет собой седло или точку перевала, обозначенную здесь знаком *.
Цель работы: показать, как метод перевала можно использовать для вычисления интегралов.
Задачи:
• изучить метод перевала;
• вывести основные вычислительные формулы метода перевала;
• вывести асимптотические формулы для цилиндрических функций.
Объект исследования: метод перевала, цилиндрические функции.
Предмет исследования: асимптотические формулы для цилиндрических функций.
Структура и объём работы. ВКР состоит из введения, трёх глав, заключения, списка использованной литературы. Текст изложен на 45 страницах, включая формулы. В списке литературы содержится 15 наименований.
В соответствии с целью и задачами дипломная работа состоит из введения, трёх глав, заключения и списка использованной литературы.
В первой главе представлены теоретические материалы метода перевала. Рассмотрен и изучен метод перевала, выведены основные вычислительные формулы метода перевала.
Во второй главе рассмотрены и изложены теоретические основы цилиндрических функций. Изучены основные формулы цилиндрических функций.
В третьей главе выведены асимптотические формулы для цилиндрических функций с помощью метода перевала.
Значимость работы:
• изложены основы метода перевала и цилиндрических функций;
• выведены основные вычислительные формулы метода перевала;
• получены асимптотические формулы для цилиндрических функций.
