ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ И НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

ВВЕДЕНИЕ 3
ГЛАВА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ 6
1.1. Уравнение Бесселя и построение его решений 6
1.2. Задачи, связанные с уравнением Бесселя 18
ГЛАВА 2. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ И ОСОБЕННОСТИ КОНСТРУИРОВАНИЯ ЭЛЕКТРОННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО РЕСУРСА 41
2.1. Виды электронных образовательных ресурсов 41
2.2. Особенности построения электронного образовательного ресурса на платформе LMS MOODLE 44
2.3. Разработка электронного образовательного ресурса по разделу
«Элементы теории специальных функции» 46
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 51
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Купить

Данная работа посвящена теории цилиндрических функций и разработке электронного образовательного ресурса (ЭОР) «Элементы теории специальных функций». Развитие науки, техники приводят к реформированию систем подготовки студентов в учебных дисциплинах. Создание электронного образовательного ресурса по элементам теории специальных функций поможет студенту организовать процесс самостоятельной работы и будет способствовать лучшему усвоению курса.
Цилиндрические функции — важный класс специальных функций, являющихся решениями дифференциального уравнения Бесселя
хУ + zy'+ (z2- и2)у = 0, (1)
где и — произвольный комплексный параметр, z— независимое переменное. К этому уравнению приводят многие краевые задачи математической физики, связанные с вопросами равновесия (упругого, теплового, электрического) и установившихся колебаний тел цилиндрической формы. Решения, выражаемые рядом
00 ( Z )u+2k
J (Z) = й(-1/к!Г(12+ и + k),
kО
где Г(х) — гамма-функция, при всех и определяют цилиндрические функции первого рода с индексом и. При целом индексе и = п эта функция определена всюду на комплексной плоскости переменного z, при любом и — на плоскости с разрезом (—ж, 0); в частности, Jv(х) определена для всех действительных х, 0 6 х < +ж. Если и = —п — целое отрицательное, то
J— n(z) = ( — 1)nJ„. (z),
т.е. отличается от Jn(z)только постоянным множителем (—1)п.Цилиндрические функции первого рода с полуцелым индексом и = п + 1 сводится к элементарным функциям. Функции Jv(х) называются также функциями Бесселя. Если и не является целым числом, то общее решение уравнения (1) имеет вид
у = CJ (z) + C2J—U (z), (2)
где C1,C2— произвольные постоянные. Если же и = п — целое, то Jn(z),J—n(z) — линейно зависимые, и их линейная комбинация (2) уже не является общим решением уравнения (1). Поэтому, наряду с цилиндрическими функциями первого рода, вводятся также цилиндрические функции второго рода, которые можно определить соотношением
Yu(z) = lim J)cos^^ - J);
r—>v sin [in
эти функции называются также функциями Вебера или функциями Неймана. При помощи этих функций общее решение уравнения (1) записывается в виде
y = CJ (z) + CY (z)
как при целом, так и нецелом и. При решении краевых задач для внешних неограниченных областей, содержащих бесконечно удаленную точку, целесообразно применять цилиндрические функции третьего рода, или функции Ганкеля:
Hdz) = Ju(z)+ iNu(z), Hd2z) = Ju(z) - iNu(z).
Линейная комбинация
y = CHHz) + C2H(2)(z)
также дает общее решение уравнения (1).
Объектом исследования является теория специальных функций.
Предметом исследования являются цилиндрические функции.
Цель исследования состоит в проектировании и разработке электронного образовательного ресурса для изучения курса «Элементы теории специальных функций».
Поставлены следующие задачи:
- изучить научную литературу по курсу «Элементы теории специальных функций»;
- разработать обучающие и контролирующие материалы по теме;
- изучить требования, предъявляемые к электронным образовательным ресурсам;
- спроектировать и разработать электронный образовательный ресурс на платформе LMS MOODLE.
Методологической основой исследования в дипломной работе явилось анализ, систематизация и обобщение учебно-методической и специальной литературы по теории и некоторым приложениям цилиндрических функций, а также в области разработки электронных образовательных ресурсов.
Практическая значимость выпускной квалификационной работы: разработанный ЭОР может быть использован в дальнейшем в учебном процессе при изучении курса «Элементы теории специальных функций», направление подготовки 02.03.01 - «Математика и компьютерные науки» профиль специализации - математическое и компьютерное моделирование.
В соответствии с целью и задачами выстроена и структура работы, которая состоит из введения, двух глав, заключения, списка использованных источников.
В первой главе изложены теоретические основы курса «Элементы теории специальных функций». Во второй главе рассмотрены особенности построения электронного образовательного ресурса на платформе LMS MOODLE.
Совместно с научным руководителем написана статья
Купить