ВВЕДЕНИЕ 3
1 Задача неизотермической двухфазной фильтрации 6
1.1 Постановка задачи 6
1.2 Приведение к безразмерному виду 7
2 Построение разностной схемы для задачи неизотермической двухфазной
фильтрации 11
2.1 Построение разностной схемы для давления 11
2.2 Построим разностную схему для температуры 16
2.3 Построения разностной схемы для насыщенности 22
3 Построение итерационного процесса 28
3.1 Описание итерационного процесса 28
3.2 Численные эксперименты 33
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 42
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 43
ПРИЛОЖЕНИЕ А. Код программы
Данная выпускная работа посвящена построению численного метода решения задачи неизотермической двухфазной фильтрации. Такие задачи возникают, например, при математическом описании процесса вытеснения тяжелой нефти горячей водой. Как и в статье [1], рассматривается одномерный случай, при этом используется крупномасштабное приближение, при котором давление нефти и воды полагаются равными.
Фильтрацией называется движение жидкостей в пористой среде. Среда считается пористой, если она содержит значительное число пустот, размеры которых малы по сравнению с характерными размерами рассматриваемой среды. Количественной характеристикой пористости может служить отношение объема пор к общему объему, которая называется коэффициентом пористости и обозначается через m.
Если фильтруемая компонента является смесью двух жидкостей, то фильтрацию называют двухфазной. В данной работе предполагается, что фильтруемая жидкость состоит из нефти и воды. Будем полагать, что элементарный объем V жидкой фазы содержит S воды и (1-S) - нефти. Параметр S называется насыщенностью. Фильтрация называется неизотермической, если вязкость нефти зависит от температуры среды.
Задача неизотермической двухфазной фильтрации, состоящая из трех нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных относительно давления Р, насыщенности Sи температуры T,описывается следующей системой уравнений:
дР дТ d /(fw(S) f0(S)dP
Рр(0)дт + Рт(0)Д7— mW~( ( ТгЗ + сгл ) я- /
рdt dt dx^w(T) p0(T)JdxJ
тд±_М!ЖдР = 0.
dt dxp.w(T)dxJ
— (c(s)T) = m — (TЛ —) + —U—к
где pw(po) - вязкость воды (нефти), fw(fo) — фазовая проницаемость воды (нефти), Др(S)—коэффициент упругоемкости, fiT(S) — коэффициент температуроемкости, т —пористость среды, c(s) —суммарная теплоемкость, 2(s) —суммарная теплопроводимость.
Краевые и начальные условия выбраны в следующем виде:
S(x, 0)= 0.4,
T(x, 0) =0,
Р(х, 0) = 0,
T(0,t) = 1.25; P(0,t) = 1; S(0,t) = 0.8, S(l,t) = 0.4
дТ s ч
— (l,t) = 0; P(l,t) = 0. дх
Одним из методов, которые применяются для решения задач теории фильтрации, являются разностные методы. Данным методам посвящены, например, книги [2], [3], 4]. Для построения дискретной модели для описываемой выше задачи был выбран метод сумматорных тождеств, который подробно излагается, например, в книге [2]. Построенная разностная схема представляет собой систему нелинейных уравнений. Для решения подобного рода систем широко используются итерационные методы, которые рассматриваются в книгах [5], [6].
Дадим краткую характеристику содержанию данной работы. Выпускная работа содержит введение, три раздела, заключение, список используемых источников и одно приложение.
В первом разделе, который содержит два подраздела, описывается постановка задачи и приводится её безразмерный вид. Второй раздел посвящен построению разностной схемы. В первом подразделе второго раздела приведено построение разностной схемы методом сумматорных тождеств для уравнения с давлением. Во втором подразделе второго раздела описывается разностная схема для уравнения с температурой. И наконец, последний подраздел посвящен разностной схемы для уравнения с насыщенностью. Все разностные схемы строятся методом сумматорных тождеств. Для этого на множестве [0,1]X [0, T] строится равномерная сетка с шагами hи т, затем для каждого уравнения выписывается интегральное тождество и каждый интеграл аппроксимируется при помощи квадратурной формулы трапеции, а производные - разностными отношениями. Таким образом, в результате преобразований получим разностную схему с порядком аппроксимации O(h2+ r). Следует отметить, что полученная система сеточных уравнений представляет собой нелинейную систему, для решения которой необходимо использовать итерационный метод.
В первом подразделе третьего раздела описывается итерационный процесс для решения системы уравнений, построенной во втором разделе. Во втором подразделе приведена численные эксперименты, подтверждающие правильность работы программы.
Заключение содержит основные результаты, полученные в данной выпускной работе.
В приложении приведен код программы, составленной в среде MatLab, для решения задачи неизотермической двухфазной фильтрации.
В выпускной работе были получены следующие основные результаты:
1) Составлена разностная схема для давления с применением метода сумматорных тождеств с погрешностью аппроксимации O(h2+ т).
2) Составлена разностная схема для температуры с применением метода сумматорных тождеств с погрешностью аппроксимации O(h2+ т).
3) Составлена разностная схема для насыщенности с применением метода сумматорных тождеств с погрешностью аппроксимации O(h2+ т).
4) Описан итерационный метод решения составленной разностной схемы.
5) Составлен комплекс программ, реализующий описанные в выпускной работе алгоритмы и приведены численные эксперименты, подтверждающие правильность программы.
Помощь студентам и аспирантам в выполнении работ от наших партнеров
