Введение 3
1 Классическая задача оптимизации, решение методом множителей Лагранжа 4
2. Метод динамического программирования 6
Заключение 10
Список используемых источников 11
Методы оптимальных решений – это раздел математики, который изучает теорию и методы поиска лучших вариантов планирования хозяйственной деятельности человека как на одном определенном предприятии, так и в некоторой отрасли или в отдельном регионе, или в целом государстве.
Лучшие варианты – это те, при которых достигается максимальная производительность труда, минимум себестоимости, максимальная прибыль, минимум использования ресурсов и т.д. С точки зрения математики – это класс оптимизационных задач. Основным инструментом при их решении является математическое моделирование.
Целью данной работы является анализ классической задачи оптимизации, решение методом множителей Лагранжа и метода динамического программирования.
Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:
рассмотреть классическую задачу оптимизации, решение методом множителей Лагранжа;
проанализировать метод динамического программирования.
Теоретической базой написания работы послужили труды таких авторов, как В.Г. Бардаков, М.Ю. Галкина, И.Н. Порублеви др., а также источники сети интернет.
В работе использовались методы теоретического анализа литературы по исследуемой проблеме, методы изучения, обобщения и анализа.
Структура работы состоит из введения, двухразделов, заключения и списка используемых источников.
Итак, сделаем основные выводы.
Обычной областью применения данных методов для решения задач оптимизации, когда критерий оптимальности удается выразить в аналитическом виде (аналитическим выражением). Это позволяет также найти не сложное аналитическое выражение для его производных. Уравнения, полученные приравниванием нулю первых производных и определяющие экстремальные решения оптимальной задачи, крайне редко удается решить аналитическим путем, поэтому, как, правило, применяют вычислительные машины. При этом надо решить систему конечных уравнений, чаще всего нелинейных, для чего приходится использовать численные методы, аналогичные методам нелинейного программирования.
Одним из наиболее общих подходов к решению задачи поиска локального минимума или максимума функции при наличии ограничений на ее переменные (задача условной оптимизации) является метод Лагранжа. Он относится к непрямым методам оптимизации.
Динамическое программирование в теории управления и теории вычислительных систем – способ решения сложных задач путём разбиения их на более простые подзадачи.
Он применим к задачам с оптимальной подструктурой (англ.), выглядящим как набор перекрывающихся подзадач, сложность которых чуть меньше исходной. В этом случае время вычислений, по сравнению с «наивными» методами, можно значительно сократить.
Ключевая идея в динамическом программировании достаточно проста. Как правило, чтобы решить поставленную задачу, требуется решить отдельные части задачи (подзадачи), после чего объединить решения подзадач в одно общее решение. Часто многие из этих подзадач одинаковы. Подход динамического программирования состоит в том, чтобы решить каждую подзадачу только один раз, сократив тем самым количество вычислений.
