Введение 3
1. Постановка задачи и анализ размерностей 5
2. Построение квазилинейной теории (£ ^ 0) 10
2.1 Получение равномерно пригодного разложения по £ при £ ^ 0 10
2.2 Использование общей теории интегральных преобразований 12
3. Примеры расчета наката одиночной волны на берег при различной
конфигурации рельефа дна океана 15
3.1 Первый случай конфигурации рельефа дна океана 15
3.2 Второй случай конфигурации рельефа дна океана 28
3.3 Ситуация, когда наклон поверхности дна меняется за счет различной
глубины 34
Заключение 37
Список литературы 39
Среди стихийных бедствий одно из первых мест в мире занимают наводнения. Морские наводнения вызываются различными причинами: прохождением глубоких циклонов, подводными землетрясениями, извержениями подводных вулканов. Последние, на поверхности океанов и морей, вызывают образование волн, длина которых намного больше глубины соответствующих водоемов. Такие волны получили название «Цунами», от японских слов цу - гавань и нами - волна. Амплитуда волн «Цунами» в открытом океане невелика от 1 метра до 20-30 метров, а их длина достигает сотни километров и значительно превышает глубину океана, которая имеет порядок 4 км. При подходе такой волны к берегу скорость ее движения падает, а амплитуда резко возрастает, что в конечном итоге приводит к разрушению различного рода сооружений в береговой зоне и к ее затоплению. Следовательно, с точки зрения нормальной жизни деятельностью приморских городов, портов и безотказной работы гидротехнических сооружений важно уметь прогнозировать степень воздействия волн «Цунами» на прибрежную зону. Такой прогноз может быть осуществлен методами математического моделирования процессов распространения и наката волн «Цунами» на берег.
Как уже отмечалось, характерной особенностью рассматриваемых волн является малость параметра 5 = h0/Я, где h0 - характерное значение глубины океана, Я - длина волны (если h0 = 4 км, а Я = 100 км, то 0.04 << 1). Это обстоятельство позволяет в качестве математической модели процесса наката длинноволновых волн на берег использовать уравнения мелкой воды [1]. В работе [2] дан подробный вывод упомянутых уравнений из общей системы уравнений Навье-Стокс.
В работах [2, 3, 4] дан подробный обзор литературы до 1996 года. За последние 15 лет в основном разрабатывались численные методы решения многомерных задач, связанных с распространением волн Цунами и на этой основе строились компьютерные модели конкретных объектов. Однако интерес к аналитическим методам не ослабевает. Это связано с тем, что аналитические методы позволяют оценить качественное поведение изучаемого объекта, вскрыть его основные особенности, не прибегая к многочисленным вычислениям. Кроме того, аналитические решения часто служат единственным обоснованием применимости того или иного численного алгоритма.
Из известных работ, связанных с аналитической теорией наката волн на берег следует выделить работу [5], где строится аналитическое решение задачи о накате волны на наклонный берег.
Основными результатами данной работы следует считать то, что авторами дана идея построения начальных данных для линейного уравнения, к которому сводятся уравнения мелкой воды и показано, что не всегда финалом наката нелинейной волны на берег является ее обрушение. Поэтому можно ожидать, что в этом случае достаточно хорошие результаты может дать линейная теория распространения волн, позволяющая построить аналитические решения для более сложных конфигураций ложа.
Основной целью настоящей работы следует считать установление связи между линейной и нелинейной теорий наката волн на берег и на этой основе построить алгоритм расчета конфигурации волн в окрестности уреза.
1. Поставленная цель полностью выполнена. Математическая модель поставленной задачи является нелинейной. Однако, нелинейные слагаемые, в качестве коэффициентов, содержат малый параметр £. Линейная теория распространения волн в данном случае получается при £=0.
2. Формальный переход к линейной модели позволяет получить лишь внешнее разложение, справедливое вдали от береговой линии. С целью получения равномерно пригодного решения на всем диапазоне изменения пространственной координаты х предложен переход в фиксированную область изменения новой пространственной переменной 0
3. Математическая модель для главных членов разложения с новой пространственной переменной становится линейной (в работе она часто называется квазилинейной, так как новая переменная содержит неизвестный закон перемещения береговой линии). Этот закон находится с точностью О(£Л2).
4. Реализация полученной модели осуществляется на основе общей теории интегральных преобразований. В результате удается построить решение поставленной задачи достаточно общее относительно функции, описывающей конфигурацию дна водоема.
5. Предложенный способ решения апробирован на решении задачи Carrier,
G. F., точное решение которой известно. Результаты расчетов показали хорошую работоспособность предложенного в работе подхода. Более того, показано, что данный подход вполне можно применять для оценки критических значений параметра s.
6. На основе развиваемого подхода к решению задач о накате волны на берег был рассмотрен случай, когда конфигурация дна описывается функцией
lay, 0
вида ^ ’ у> , которая наиболее часто встречается на практике. Для этого случая выписано аналитическое решение и проведены многочисленные вычислительные эксперименты, которые подробно разобраны в работе.
