Введение 3
1. Постановка задачи 5
2. Математическая модель 8
2.1. Уравнения фильтрационного движения жидкости 8
2.2. Обезразмеривание переменных 9
3. Алгоритм численного решения задачи 11
3.1. Построение расчетной сетки 11
3.2. Конечно-разностная аппроксимация уравнения 12
3.3. Оценка сходимости 15
4. Анализ результатов решения 17
4.1. Результаты решения 17
4.2. Сравнение с аналитическим решением 18
4.3. Необходимость учета торца скважины 19
5. Крупноблочная сетка 24
5.1. Связь с детальной сеткой 24
5.2. Аналитическая поправка на первой грани для учета скважины 26
6. Коэффициент продуктивности 31
6.1. Аналитический вывод коэффициента продуктивности 31
6.2. Сравнение с численной поправкой 32
6.3. Учет несовершенства скважины для коэффициента продуктивности 33
Заключение 36
Список литературы 37
Размеры месторождений могут колебаться в больших пределах: от нескольких сотен метров до десятков и даже сотен километров. Пласты больших размерностей могут вскрываться десятками и сотнями скважин [1].
Детальное моделирование крупномасштабных месторождений является сложной для вычислений задачей. Для значительного ускорения счета часто выполняется понижение размерности задачи фильтрации в пласте путем осреднения пласта по его толщине. Делается переход от трехмерной задачи в пространстве XYZ к двумерной в плоскости XY.
При этом принципиальным вопросом является корректный учет вертикальной неоднородности системы в эффективных осредненных величинах. Учет вертикальной неоднородности поля проницаемости обеспечивается процедурой апскейлинга и достаточно хорошо изучен [2, 3]. Математический аппарат осреднения в задачах теории фильтрации изложен в [4] и позволяет получить оценки эффективных фильтрационных параметров среды.
Важным фактором при осреднении является не только учет свойств самого пласта, но и несовершенства, вскрывающих его скважин. В данной работе рассматривается учет несовершенства скважин по степени вскрытия пласта при осреднении модели по его толщине. На практике вертикальная скважина может вскрывать часть пласта сверху, снизу, посередине или несколькими отрезками. Однако после осреднения эта информация не может быть задана непосредственно. Классический подходом является вычисление фиктивных радиусов скважин, то есть таких, чтобы при том же перепаде давления и в «идеализированных» условиях давали тот же расход, что и настоящая скважина в «реальных» условиях. Один из наиболее общих способов - формула Велиева, которая учитывает не только степень вскрытия, но и анизотропию слоистого пласта [5].
Цель работы - формулировка метода, ориентированного на интегро- интерполяционные схемы крупноблочного численного решения задачи фильтрации в осредненном по толщине пласте, для вычисления поправочного коэффициента и фиктивного радиуса скважины для учета ее несовершенства по степени вскрытия пласта.
В настоящей работе была разработана программа для решения задачи о двумерной радиальной фильтрации флюида в пласте, вскрытом скважиной с произвольной степенью вскрытия, методом конечных объемов. Кроме того, была произведена оценка сходимости решения.
Из полученного решения было оценено влияние учета торца скважины для разных степеней несовершенства скважины. При радиусе скважины меньше, чем
0. 01 высоты пласта для степеней вскрытия более 0.1, ошибка становится менее 5%.
Было оценено влияние поправки, полученной аналитически для совершенной скважины, на определение средней скорости потока через границу ячеек крупноблочной сетки при разных степенях вскрытия и диаметров ячеек. Поправка снижает долю ошибки на 40% и дает точное значение для совершенной скважины. Однако, при малых степенях вскрытия и малых диаметрах ячеек близких к радиусу скважины, ошибки достигают критических значений. Также ухудшает результаты введение приведенного радиуса.
Нами была получена оценка погрешности коэффициента продуктивности с учетом степени вскрытия пласта. При радиусе осреднения менее 0.1 аналитический коэффициент дает значимую погрешность для несовершенной скважины. При радиусе осреднения более 0.1 доля ошибки не превышает 5%.
