Введение 3
1 Основные определения 5
2 1-разложимость матриц порядка 2 7
3 Достаточные условия 1-неразложимости матриц порядка 3 9
4 Описание 1 -неразложимых матриц порядка 3 16
5 Представление в виде произведения квазиперестановочных
и треугольных матриц 22
Заключение 25
Список литературы 26
Приложение
Многие алгебраические задачи, имеющие практические приложения, часто оказываются связаны с вопросами, традиционно изучаемыми в курсе линейной алгебры, и могут быть сформулированы на языке матриц, векторных пространств и т.п. (см., напр., [1] и [2]). При этом элементами матриц и координатами векторов обычно являются элементы известных числовых полей и полуполей.
Одна из таких задач сформулирована в виде упражнения в задачнике Кострикина (см. [3,стр.134,упр.39.13]). В этом упражнении предлагается доказать, что любую вещественную матрицу порядка n можно представить в виде произведения матриц, отличающихся от единичной не более чем одним столбцом. Легко доказать, что это равносильно тому, что матрицу можно представить в виде произведения почти единичных матриц, т.е. матриц, отличающихся от единичной ровно одним элементом.
Аналогичную задачу можно сформулировать для матриц над полуполями. В данной выпускной работе в качестве основного полуполя берется (R+, max, •), где R+ = [0, +то) - интервал вещественной прямой.
Главная цель работы состоит в исследовании возможности представления матрицы над рассматриваемым полуполем в виде произведения некоторого числа матриц, каждая из которых является либо перестановочной матрицей, либо почти единичной. Матрицы, разложимые в произведение перестановочных и почти единичных матриц, будем называть I-разложимыми.
Работа содержит пять параграфов.
В первом параграфе приводятся определения основных понятий, используемых в работе.
Во втором параграфе доказывается, что любую матрицу второго порядка над полуполем (R+, max, •) можно представить в виде произведения почти единичных и перестановочных матриц.
Третий параграф работы посвящен доказательству достаточных условий I-неразложимости матриц третьего порядка с помощью портретов и тропических портретов по столбцам.
В четвертом параграфе приведено полное описание матриц третьего порядка над рассматриваемым полуполем, которые невозможно представить в виде произведения почти единичных и перестановочных матриц.
В последнем параграфе исследуется возможность представления I-разложимых матриц третьего порядка в виде произведения квазиперестановочных и треугольных матриц. Также, приведен алгоритм представления I-разложимых матриц в указанном виде, который реализован в программе на языке Java.
В конце работы приведен список использованной литературы в порядке цитирования в тексте.
В данной выпускной работе была изучена возможность представления матриц над полуполем (R+, max, •) в виде произведения почти единичных и перестановочных матриц.
В первую очередь, было показано, что любую матрицу второго порядка над данным полуполем можно представить в виде требуемого произведения.
В ходе исследования матриц третьего порядка над изучаемым полуполем оказались полезными понятия портрета и тропического портрета матрицы по столбцам. В частности, с помощью данных понятий были доказаны некоторые достаточные условия, при которых исследуемую матрицу невозможно представить в указанном виде.
Также было представлено полное описание матриц третьего порядка над полуполем (R+, max, •), которые невозможно представить в виде произведения почти единичных и перестановочных матриц.
Было установлено, что для многих представимых в виде требуемого произведения матриц количество сомножителей не меньше десяти. В связи с данным фактом, была изучена задача о представлении матриц третьего порядка в виде произведения квазиперестановочных и треугольных матриц. Эту задачу удалось реализовать в программе на языке Java.
Полученные в ходе выполнения данной работы выводы позволяют значительно упростить изучение матриц над полуполем (R+, max, •), так как исследование таких матриц сводится к изучению матриц более простого вида.
