Тема: О НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧАХ «ДЕЛЕНИЯ» В АЛГЕБРЕ ВЛАДИМИРОВА В.С.

В учебнике В.С. Владимирова «Уравнения математической физики» [1] дано определение сверточной алгебры &+(Ж), т.е. пространство обобщенных функций, заданное на вещественной оси Ж с носителями в Ж+, где Ж+ '•= [0, +ю], снабженное операцией свертка. Напомним, что векторное пространство, снабженное сверткой, называется сверточной алгеброй, если операция свертки является внутренним законом композиции и обладает свойствами коммутативности и ассоциативности.
Основываясь на классическом определении преобразования Фурье по формуле:
7(ф)(0 := ^ e2mx^y(x)dx, V f £ M,V у £ S,
и, учитывая фундаментальное свойство преобразования Фурье в S( Ж), а именно свойство автоморфизма преобразования Фурье в пространстве Шварца S, вводится определение преобразования Фурье 7 в пространстве S(Ж) обобщенных функций на Ж медленного (умеренного) роста по формуле:
{7(Т),у(х)):={Т,7(у))> V Т £ S', V у £ S.
Даётся определение мультипликативной алгебры Владимирова В.С. —
— $'+(Ж), как образ при преобразовании Фурье для сверточной алгебры S'+^) в виде:
$'+(Ж) :=7(S'+).
При исследовании элементов из алгебры Владимирова В.С. важную роль играет формула:
T+(z) = C[T+](z) = X7(T+)(z), где Imz> 0 (1°)
где Т+ •■= 7(T+),C[T+](z) —преобразование Коши для обобщенной функции Т+£ $'+(Ж): 
л 1 С[Пй = Imz> О;
КТ — преобразование Карлемана - Фурье, определяемое по следующей формуле:
где f - функция медленного роста на М, т.е. непрерывная функция на М, растущая на то не быстрее полинома.
Далее, известно, [2], что любая обобщенная функция ТЕ S' ( М) имеет глобальную структуру, т.е. существуют т е N и f - функция медленного роста, такие что:
где (^) понимается в смысле обобщенных функций.
Следовательно, если Т Е S'(M), то КТ(Т) = (—2niz)mKT(f)(z).
Следует заметить, что определение мультипликативной алгебры Владимирова В.С. можно записать по формуле:
S '+(М) — (S' — lim)KT(T+)(z), где Imz> О,
Im z->+0
а предел понимается в смысле обобщенных функций из S'. Также был рассмотрен ряд примеров и задач из [3]. 
Рассмотрим пример:
Пусть Т+ = Y(t) - функция Хевисайда на R Очевидно, что Y(t) £ S+(M).
Тогда T+(z) = , Imz > 0.
Следовательно, T+(x) = (S' — lim) (—^~) = ^+(x) (см. [2])
Im z->+0
где предел понимается в смысле обобщенных функций, 5+(х) - известная обобщенная функция Сохоцкого - Племеля - Н.Н. Боголюбова - Гейзенберга .Это равенство (1°) подтверждает, что формула T+(z) = K7(T+)(z),
Imz > 0 — является аналогом классической формулы Коши.
Не менее важными для магистерской работы оказались труды Л.Г. Салехова [4] -[5], целью которых являлось углубление и расширение базового курса «Уравнения в частных производных».
Из определения алгебры Владимирова В.С., очевидно, что это мультипликативная алгебра обобщенных функций на вещественной оси с обычной единицей (т.е. = 1), которая изоморфна сверточной алгебре S+, где единицей является S - мера Дирака. Поэтому действие мультипликативного произведения двух обобщенных функций в мультипликативной алгебре Владимирова В.С. представимо в виде:
S+ • Т+ = 7(S+ * Т+).
Итак, операция мультипликативного произведения вводится через изоморфизм, определяемый преобразованием Фурье 7. Далее, отыскиваются мультипликативные подгруппы в алгебре Владимирова В.С.. 
Цель работы: вспомнить основные формулы и определения для пространства обобщенных функций и алгебры Владимирова В.С., рассмотреть некоторые задачи «деления», исследовать вопросы существования и единственности решения.
Содержание работы изложено в трех параграфах: в первом параграфе рассматривается конкретная задача «деления» в алгебре Владимирова В.С., исследуется вопрос корректности данной задачи; далее, во втором параграфе была рассмотрена тема: «О делении на полином в алгебре Владимирова В.С.» с последующим вытекающим Утверждением. Важным результатом работы является обобщение вышеизложенного материала, а именно, представлен некоторый класс задач «деления», который продемонстрирован в третьем параграфе. Также, в каждом параграфе содержатся вспомогательные материалы - напоминания основных формул, свойств, определений.

Купить

Основными результатами проведенной работы являются:
1) теоретическое освоение некоторых аспектов из теории обобщенных функций (преобразование Фурье в S' , преобразование Карлемана — Фурье в S' , копреобразование Фурье в S' , связь преобразования Фурье с преобразованиями Карлемана — Фурье и копреобразованием Фурье.
2) приобретение практических навыков в работе с элементами из алгебры Владимирова В.С.
Полученные результаты могут быть использованы на практике при применении аппарата обобщенных функций при решении различных задач как в пространстве обобщенных функций, так и в алгебре Владимирова В.С..

Купить