Введение 3
1 Левые и правые обратные матрицы 5
2 Матрица A12 s). Условия унитарной эквивалентности при s = 1, 2 7
3 Условие унитарного подобия матриц в общем случае 14
4 О верхней границе для параметра s 25
Заключение
Список литературы 30
Купить

Квадратные комплексные матрицы A и B называются унитарно эквивалентными (или унитарно подобными), если для некоторой унитарной матрицы P выполняется равенство A = PBP *.
По известной теореме Шпехта необходимым и достаточным условием унитарной эквивалентности матриц A и B является выполнение равенств trW(A, A*) = trW(B, B*),
где W(A, A*) - это всевозможные произведения матриц, в которых каждый сомножитель есть A или A*. Данная теорема требует проверки бесконечного множества условий.
Позднее в статье Пирси [1] было доказано, что достаточно проверить равенства теоремы Шпехта для произведений, состоящих из не более чем 2n2 сомножителей, где n — порядок матриц A и B. Таким образом, требуется проверка конечного, но очень большого числа равенств.
В моей работе рассматриваются матрицы A и B, заданные в блочном виде, и выводятся достаточные условия их унитарной эквивалентности в терминах блоков этих матриц.
Материал работы расположен в следующем порядке:
В §1 содержатся сведения об односторонне обратимых матрицах.
В §2 рассматривается случай, когда блок AI2 обратим слева. Получена теорема, согласно которой для унитарной эквивалентности матриц A и B достаточно совпадения (1,1) - блоков матриц A и B, A2 и B2, AA* и BB*, A2A* и B2B*. Также в теореме получен явный вид матрицы унитарного подобия. Далее этот результат формулируется на языке блоков самих матриц A и B. Если блок A12 не обратим слева, то рассматривается случай левой обратимости матрицы
В §3 рассматривается общий случай. Если матрица AI1,^ обратима слева, то достаточным для унитарной эквивалентности матриц A и B является условие:
(Aa+1A*e)п = (Ba+1B*e)п, a = фф в = M.
В этом случае также получена матрица унитарного подобия в явном виде. Далее эта теорема формулируется в терминах блоков матриц A и B.
В §4 содержится ответ на вопрос: существует ли такое значение s, что если Al^s) не обратима слева, то не существует левой обратной и при больших значениях s. Оказывается, что таким значением s является число к — 1, где к - степень минимального многочлена матрицы A.

Купить