ВВЕДЕНИЕ 3
1 Постановка задачи 5
2 Сеточная схема метода конечных элементов 15
3 Матричная задача 19
4 Сходимость метода конечных элементов 24
5 Численные эксперименты 25
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 27
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 29
ПРИЛОЖЕНИЕ
Задачи на собственные значения для дифференциальных уравнений возникают при решении важных научно-технических задач. К таким задачам относятся задачи конструирования летательных аппаратов, надводных и подводных судов, расчета на прочность строительных конструкций. Многие применяемые конструкции содержат локальные неоднородности и испытывают локальные воздействия. В настоящей работе изучается задача о собственных колебаниях струны с присоединенным грузом. Исходная задача аппроксимируется методом конечных элементов на равномерной сетке. Целью работы является исследование зависимости собственных значений и собственных функций от величины массы присоединенного груза, экспериментальное исследование погрешности метода конечных элементов для решения задачи в зависимости от шага сетки.
В разделе 1 приведена постановка задачи о собственных колебаниях струны с присоединенным грузом. Задача сводится к нахождению собственных значений и собственных функций дифференциальной задачи на собственные значения второго порядка с однородными граничными условиями Дирихле и дополнительными условиями сопряжения в точке присоединения груза. В разделе 2 с помощью метода конечных элементов построена сеточная схема для приближенного решения дифференциальной задачи на собственные значения. Сеточная схема приведена к матричной задаче на собственные значения. В разделе 3 проведено вычисление элементов матрицы жесткости и матрицы массы сформулированной матричной задачи. В разделе 4 выведена формула, позволяющая определять порядок сходимости метода конечных элементов. Результаты экспериментов изложены в
разделе 5. В заключении изложены полученные выводы. В приложении А и приложении Б находятся результаты проведенных расчетов и разработанная программа для численных экспериментов.
Прикладные задачи на собственные значения для дифференциальных уравнений исследованы в книгах [1-4, 10]. Теоретические результаты, касающиеся существования собственных значений, собственных функций и исследования их свойств для дифференциальных задач на собственные значения изложены в книгах [1-4, 9, 10]. Метод конечных разностей и метод конечных элементов решения дифференциальных краевых задач и дифференциальных задач на собственные значения изучены в книгах.
В настоящей работе исследуется задача о собственных колебаниях закрепленной в граничных точках однородной струны с грузом, присоединенным во внутренней точке. Задачи подобного вида имеют значительный теоретический и практический интерес и возникают при математическом моделировании в математической физике и механике конструкций. Постановка задачи приводит к определению собственных значений и собственных функций обыкновенного дифференциального уравнения с однородными граничными условиями Дирихле и дополнительными условиями сопряжения в точке присоединения груза. Исходная задача на собственные значения аппроксимируется методом конечных элементов на равномерной сетке. Целью работы является с помощью метода конечных элементов построить приближенные сеточные схемы для решения задачи, сформулировать их в матричном виде, вычислить собственные значения, построить графики собственных функций, экспериментально вычислить и исследовать скорость сходимости метода конечных элементов, исследовать предельные свойства решений задачи при увеличении массы груза до бесконечности.
Приведем полученные выводы из экспериментов, результаты которых содержатся на рисунках А.1-А.4 и в таблицах А.1-А.4. Результаты получены с помощью программы из приложения Б.
Экспериментально установлены следующие результаты.
Имеет место сходимость
Хк (M) ^ дк
при M ^ ж, k = 1,2,..., где Дк - собственные значения предельных задач. Существует положительная постоянная с, не зависящая от h, для
которой выполняется оценка погрешности
0 < Лh(M) - Хк(M) < ch2.
Скорость сходимости метода конечных элементов не зависит от величины массы M присоединенного груза. В проведенных экспериментах наблюдалось приближение к точным собственным значениям сверху для метода конечных элементов.
