Оглавление
1. Введение……………………………………………………………………………2
1.1.Литературный обзор предыдущих исследований…………………………....2
1.2.Постановка задачи……………………………………………………………...4
1.2.1. Приближение Буссинеска……………………………………………...4
1.2.2. Постановка задачи о движении жидкости между двумя
бесконечными дисками………………………………………………...5
2. Метод решения……………………………………………………………………...8
3. Результаты расчётов………………………………………………………………...9
4. Автомодельная эволюция…………………………………………………………14
5. Выводы……………………………………………………………………………..17
6. Список литературы………………………………………………………………...18
7. Оглавление…………………………………………………………………………19
Купить

Введение
1.1. Литературный обзор предыдущих исследований
Уравнения движения вязкой жидкости представляют собой систему
дифференциальных уравнений с частными производными: уравнение Навье – Стокса,
уравнение переноса тепла и уравнение непрерывности. Соответственно в векторном
виде эти уравнения можно представить как [1]:
) ( ),
3
[ (v )v] gradp v ( grad divv
v t
r r r r
r
η
ρ + ∇ = − +η∆ + ς +
∂ ∂
( ( )) ' (div( T)),
v x
v s
s t
T
i k
ik + ∇
∂ ∂
+ ∇ =
∂ ∂
ρ σ κ
r (1.1)
+ ( ) = .0
∂ ∂
div v
t
r
ρ
ρ
Где величины η и ζ – это так называемые коэффициенты вязкости (коэффициент ζ
часто называют второй вязкостью), κ – коэффициент теплопроводности, σ’ik – вязкий
тензор напряжений, значение которого составляет:
) .
2 3
' (
l l
ik
l l
ik
k i
i k
ik
v x
v x
v v
v x
∂ ∂
+
∂ ∂
−
∂ ∂
+
∂ ∂
σ = η δ ςδ (1.2)
В случае несжимаемой жидкости система уравнений (1.1) существенно упрощается
[1]:
,
1
(v )v gradp v
v t
r r r
r
+ ∇ = − + ∆
∂ ∂
ρ
η
ρ
( ) ,
2
( ) 2
k i
i k
p p x
v
v x
c
T
c
v T
T t
∂ ∂
+
∂ ∂
+ ∇ = ∆ +
∂ ∂
ρ
η
κ ρ
r (1.3)
divv r = .0
Первое уравнение этой системы было впервые сформулировано в 1827 году Навье на
основе модельных представлений. Вывод, близкий к современному, был дан Стоксом в
1845 году.
Отношение ν
ρ
η
= называют кинематической вязкостью, (в отличие от η, которое
называют динамической вязкостью), а отношение χ
κ ρ
=
c p
называется
температуропроводностью.
Говорят, что существует точное решение системы дифференциальных уравнений с
частными производными, если удаётся свести её к системе обыкновенных
дифференциальных уравнений. Так как система уравнений (1.3) нелинейная, то такое
сведение, вообще говоря, не всегда возможно. Если нелинейные члены в уравнениях
движения не исчезают тождественно, решение этих уравнений представляет большие
трудности, и точные решения могут быть получены лишь в очень небольшом числе
случаев. Такие решения представляют существенный интерес – если не всегда
3
физический (ввиду фактического возникновения турбулентности при достаточно
больших значениях числа Рейнольдса), то, во всяком случае, методический.
В работе Кармана [2] впервые получено точное автомодельное решение задачи о
движении несжимаемой жидкости над бесконечным равномерно вращающимся
диском. Укажем ход решения этой задачи.
Выбирем плоскость диска в качестве плоскости z = 0 цилиндрических координат.
Диск вращается вокруг оси z с угловой скоростью Ω . Рассмотрим неограниченную
жидкость с той стороны диска, где z > 0 . Предельные условия имеют вид
= 0
vr , vϕ = Ωr , vz = 0 при z = ,0
= 0
vr , vϕ = 0 при z = ∞.
Аксиальная скорость vz не исчезает при z → ∞ , а стремится к постоянному
отрицательному пределу, определяющемуся из самих уравнений движения. Решения
уравнений движения ищем в виде
vr = rΩF(z1); vϕ = rΩG(z1); v z = νΩH (z1); (1.4)
p = −ρνΩP(z1); где z1 z.
ν
Ω
=
В этом распределении радиальная и круговая скорости пропорциональны расстоянию
от оси вращения диска, а вертикальная скорость vz постоянна вдоль каждой
горизонтальной плоскости.
Подстановка в уравнение Навье – Стокса и уравнение непрерывности приводит к
следующим уравнениям для функций F, G, H, P:
F 2 − G 2 + F' H = F ,'' 2FG + G' H = G ,'' (1.5)
HH '= P'+H ,'' 2F + H'= 0
(штрих означает дифференцирование по z1) с предельными условиями:
F = 0, G = ,1 H = 0 при z1 = ,0
F = ,0 G = 0 при z1 = ∞.
Мы свели, таким образом, решение задачи к интегрированию системы обыкновенных
дифференциальных уравнений с одной переменной, которое может быть произведено
численным образом (см. например [1]).
С появлением работы [2] было сделано огромное число публикаций, посвящённых
исследованию точных решений с аналогичными свойствами симметрии. Установлено,
что данные свойства симметрии можно использовать для получения точных решений
для течений между двумя дисками [3], а также для течений жидкости с теплопереносом
в рамках приближения Буссинеска *[4] – [7]. Ранее было показано, что во многих
*
См. пункт 1.2.1
4
гидродинамических задачах класса Кармана наблюдается неединственность решения
для одних и тех же краевых условий, а при некоторых условиях решение может
отсутствовать. Большое количество решений наблюдается, например, в задаче о
движении жидкости между пористым вращающимся диском и твёрдой непроницаемой
плоскостью [8]. Описание задач, в которых были найдены явления неединственности и
несуществования решений, можно найти, например, в обзоре [9].
В настоящей работе исследуется задача об автомодельных свободно – конвективных
течениях несжимаемой вязкой жидкости в рамках приближения Буссинеска. Показано,
что в этой задач также существует неединственность стационарных устойчивых
решений и при некоторых условиях имеет место возникновение автоколебаний или
потеря существования автомодельных решений
Купить