ВВЕДЕНИЕ 3
Глава 1. Разбиение натуральных чисел. Совершенные и идеальные разбиения 6
1.1. Производящие функции и действия над ними. Элементарные
производящие функции 6
1.2. Натуральные числа. Разбиения и разложения. Теорема Эйлера 12
1.3. Совершенные разбиения натуральных чисел. Понятие идеального
разбиения. Количество упорядоченных факторизаций 16
Глава 2. Пакет символьной математики Maple и вычислительные формулы для нахождения количества совершенных и идеальных разбиений с наименьшим числом слагаемых 25
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 31
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 33
ПРИЛОЖЕНИЕ 35
Любое представление натурального числа суммой натуральных чисел называется разбиением числа. Разбиения возникают непосредственно в ряде математических задач. Среди них наиболее значимой является представление симметрической группы, где разбиения естественным образом параметризируют все неприводимые представления. Суммы по всем разбиениям зачастую можно встретить в математическом анализе. Подсчет и перечисление разбиений с различными арифметическими ограничениями на слагаемые рассматриваются как комбинаторные задачи. При составлении олимпиадных и конкурсных заданий широко применяется как раз таки данный тип задач.
Отсюда и вытекает актуальность данной работы. Она заключается в том, что в курсе школьной математики не даются необходимые знания для решения задач с применением совершенных и идеальных разбиений. Результаты, полученные в ходе нашего исследования, предоставят возможность использовать их в школьном курсе математики профильного уровня на элективных курсах, а также в деятельности факультативов и кружков, при подготовке к олимпиадам, математическим конкурсам и турнирам.
Цель работы: систематизация информации и решение задач о подсчете количества совершенных и идеальных разбиений натурального числа; вывод вычислительных рекуррентных формул с помощью аппарата производящих функций.
Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:
1. Изучить основные определения и свойства производящих функций, элементарные типы производящих функций.
2. Разобраться в алгоритме решения задач о подсчёте количества совершенных и идеальных разбиений натурального числа.
3. Познакомиться с системой работы в пакете символьной математики Maple для нахождения количества совершенных и идеальных разбиений с наименьшим числом слагаемых.
Объект исследования: множества чисел.
Предмет исследования: разложения и разбиения.
Гипотеза: вычислительные рекуррентные формулы,
полученные с помощью аппарата производящих функций, позволяют обеспечить нахождение количества совершенных и идеальных разбиений натурального числа.
Методы: анализ литературы, теоретический анализ и синтез, изучение и обобщение практического применения.
Теоретической основой исследования послужили научные труды Ландо С.К., Эндрюса Г., Вайнштейна Ф. В., Киндера М.И., Кручинина В.В. и других.
С.К. Ландо [8] знакомит читателя с производящими функциями — языком, на котором говорит современная перечислительная комбинаторика. В его работе разобрано множество примеров, а также она содержит большое количество задач для самостоятельного решения.
Книга Эндрюса [11] представляет собой изложение комбинаторных аспектов теории разбиений. В ней хорошо представлены аналитические методы. В ней с исчерпывающей полнотой представлены многие направления исследований, связанные с этим объектом.
В работе В.В. Кручинина [2] приведены рекуррентные формулы для числа разбиений натурального числа п, части которых должны быть не менее т. Приведен простой вывод формулы Эйлера для числа разбиений.
Ф.В. Вайнштейн в своей статье [1] вводит много интересных свойств разбиений и учит находить р(п), не выписывая все разбиения числа п.
В работах [5; 10] приведены основные факты и сравнительная характеристика совершенных и идеальных разбиений для чисел различного типа.
Исследования названных и других авторов [4; 7] позволили составить наиболее полное представление об изучаемом явлении, а также познакомиться с пакетом символьных вычислений Maple для решения задач.
Данная работа закрепляет и обобщает ранее сформулированные научные представления об исследуемом предмете.
Практическая значимость исследования заключается в возможности использования практикующими учителями
полученного обобщенного материала в школьном курсе математики профильного уровня, а также в факультативной и кружковой деятельности.
Выпускная квалификационная работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка использованной литературы и приложения.
В выпускной квалификационной работе «Совершенные и
идеальные разбиения натуральных чисел» предпринята попытка
систематизировать и популяризировать научные результаты,
связанные с решением задачи о нахождении количества
совершенных и идеальных разбиений натурального числа.
В ходе исследования была подтверждена раннее выдвинутая
гипотеза о том, что вычислительные рекуррентные формулы,
полученные с помощью аппарата производящих функций,
позволяют определить количество совершенных и идеальных
разбиений числа.
Была установлена эффективность применения метода
производящих функций при решении перечислительных
комбинаторных задач.
Результатом проделанной работы стало нахождение и
доказательство явной формулы Мак-Магона с помощью аппарата
производящих функций для подсчёта упорядоченных факторизаций
натуральных чисел. Кроме того, было установлено, что количество
упорядоченных факторизаций числа связано с экспоненциальными
числами Белла и Стирлинга второго рода для натуральных чисел, в
разложении которых каждый простой множитель входит только
один раз.
В ходе исследования были изучены и реализованы в пакете
Maple алгоритмы упорядоченных факторизаций, связанных с
совершенными и идеальными разбиениями чисел.
Информация, полученная из зарубежных источников,
способствовала более глубокому изучению и пониманию данной
темы.32
Итогом исследовательской работы стала разработка
элективного курса для школьников профильного уровня 8-11
классов, рассчитанная на 20 часов.
