Введение 4
1 Обзор 5
1.1 Электроны на поверхности сверхтекучего гелия 5
2 Теоретическая модель квазиодномерного электронного газа и
методы поиска основного состояния 13
2.1 Периодическая модели двумерного электронного газа 13
2.2 Потенциал иная энергия кулоновского взаимодействия в периодической системе 15
2.3 Кулоновские силиг в периодической системе 17
2.4 Метод сопряженного градиентного спуска 19
2.5 Молекулярная динамика 21
2.5.1 Метод численного интегрирования Верле 23
2.5.2 Динамика Ланжевена 24
3 Динамика квазиодномерного электронного газа в удерживающем потенциале 26
3.1 Прерывистое движение 28
3.2 Модели динамики двумерного электронного газа 29
3.3 Финалвное уравнение движения 33
3.4 Структура вигнеровского кристалла в ограничивающем потенциале 36
3.5 Результаты моделирования 39
3.6 Зависимости динамики электронов от внешних параметров ... 44
3.6.1 Зависимости динамики электронов от прижимающего поля 44
Заключение 47
Список литературы 48
Приложения 52
А Вывод формулы Эвальда 52
В Вывод формулы сил кулоновского взимодействия 55
С Разложение координаты частицы в методе Верле 58
D Интегратор Брунгер-Брукс-Карплюс 59
За последние несколько десятилетий было проведено и описано множество экспериментов, связанных с электронами на поверхности жидкого гелия, которые, при определенных условиях, могут сформировать электронный, или вигнеровский кристалл (ВК). Электронная система образует упорядоченное состояние с треугольной структурой решетки при низких температурах или высокой плотности [1]. Формирование кристалла из электронов, то есть вигнеровская кристаллизация, является одним из наиболее важных явлений, наблюдаемых в этой системе. Электроны, связанные с поверхностью жидкого гелия, образуют модельную систему, в которой может быть исследована физика сильно коррелированных частиц, взаимодействующих посредством кулоновского потенциала [2,3]. Электроны, находящиеся на поверхности гелия, в параболическом ограничивающем потенциале, можно рассматривать как двумерный электронный газ. Ранее в работе [4] экспериментально были исследованы транспортные свойства электронов на поверхности сверхтекучего гелия в параболлическом удерживающем потенциале, а также стуктурные переходы в данной системе.
Данная тема получила развитие в работах [5,6] по измерению силы тока, протекающего через микроканал под действием ускоряющего электрического поля, направленного параллельно поверхности жидкого гелия. Впервые было обнаружено прерывистое движение ВК [5]. Было показано, что данное специфическое движение обусловлено взаимодействием ВК с решеткой поверхностных деформаций (ПД), образующейся на гелии, и приводит к осцилляциям тока, протекающего через микроканал.
Целью данной работы является создание математической модели, способной описать поведение электронов на подложке жидкого гелия в ограниченно геометрии, а также реализовать модель посредством компьютерной программы, используя методы математической физики.
В данной работе была построена и реализована модель, описывающая динамику двумерного электронного газа на поверхности жидкого гелия в удерживающем параболическом потенциале. На основании этой модели были проанализированы конфигурации электронов при различных концентрациях и внешних параметрах.
• Было показано, что результаты моделирования хорошо согласуются с аналитическим решением на качественном и количественном уровне.
• Предложенная модель на качественном и полуколичественном уровне хорошо согласуется с экспериментом. Численными методами моделирования было показано прерывистое движение, которое было обнаружено экспериментально [5,6].
Таким образом, данная модель позволила описать результаты экспериментов, и, в дальнейшем, может быть использована для изучения динамики системы электронов на поверхности жидкого гелия в более сложных внешних электрических полях.
